Вопросы после параграфа §45 на странице 217, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава X. Элементы математической статистики. §45. Интервальные оценки. Страница 217, вопросы после параграфа §45

1. Неизвестную вероятность события оценили частотой этого события. Это точечная оценка или интервальная?

Частота события — одно число: если в серии из \(n\) одинаковых опытов событие произошло \(X\) раз, частота равна \(\frac{X}{n}\).

Точечная оценка указывает для неизвестного параметра одно число, а интервальная — интервал вместе с вероятностью, с которой параметр этому интервалу принадлежит. Значит, оценка вероятности частотой — точечная: если в 2000 опытах событие произошло 36 раз, точечная оценка \(\hat{p}\) вероятности \(p\) равна \(\frac{36}{2000} = 0{,}018\) и о величине собственной ошибки ничего не сообщает.

Ответ: Это точечная оценка: частота — одно число, а не интервал.

2. Чем интервальная оценка отличается от точечной?

Точечная оценка указывает для неизвестного параметра \(\theta\) одно число \(\hat{\theta}\) и своей ошибки не измеряет.

Интервальная оценка указывает интервал \((\theta_1;\ \theta_2)\), которому \(\theta\) принадлежит с большой наперёд заданной вероятностью; эта вероятность — мера надёжности, а длина интервала показывает, насколько оценка груба.

По 2000 бросаниям канцелярской кнопки частота \(0{,}4\) — точечная оценка вероятности выпадения острия вверх, а интервал \((0{,}367;\ 0{,}434)\) с вероятностью приблизительно \(0{,}997\) — интервальная оценка той же вероятности.

Ответ: Точечная оценка даёт для неизвестного параметра одно число и о своей ошибке ничего не сообщает, а интервальная даёт интервал и вероятность, с которой параметр этому интервалу принадлежит.

3. Что такое доверительная вероятность и доверительный интервал?

Доверительный интервал для неизвестного параметра \(\theta\) — такой интервал \((a;\ b)\), что событие \(\theta \in (a;\ b)\) имеет большую наперёд заданную вероятность; сама эта вероятность и называется доверительной вероятностью.

Это вероятность того, что параметр принадлежит интервалу, а не того, что он равен своей точечной оценке: \(\theta\) — неизвестная постоянная, случайны границы, вычисляемые по выборке.

Запись «вероятность поломки насоса принадлежит интервалу \((0{,}011;\ 0{,}030)\), доверительная вероятность приблизительно \(0{,}997\)» значит: этому интервалу неизвестная вероятность принадлежит практически наверняка, а ошибиться можно примерно в трёх случаях из тысячи.

Ответ: Доверительный интервал для неизвестного параметра \(\theta\) — это такой интервал \((a;\ b)\), что событие «параметр принадлежит этому интервалу» имеет большую наперёд заданную вероятность; сама эта вероятность и называется доверительной вероятностью.

1. Неизвестную вероятность события оценили частотой этого события. Это точечная оценка или интервальная?

Частота события — это одно число: если в серии из \(n\) одинаковых опытов событие произошло \(X\) раз, то частота равна \(\frac{X}{n}\).

Оценку, которая указывает для неизвестного параметра одно число, называют точечной. Интервальная оценка указывает не число, а интервал вместе с вероятностью, с которой неизвестный параметр этому интервалу принадлежит.

Значит, оценка неизвестной вероятности частотой — точечная. Например, если в 2000 опытах событие произошло 36 раз, то частота \(\frac{36}{2000} = 0{,}018\) и есть точечная оценка \(\hat{p}\) неизвестной вероятности \(p\). Эта оценка состоятельная и несмещённая, но о величине собственной ошибки она ничего не сообщает — а это и есть признак точечной оценки.

Ответ: Это точечная оценка: частота — одно число, а не интервал.

2. Чем интервальная оценка отличается от точечной?

Точечная оценка указывает для неизвестного параметра \(\theta\) одно число \(\hat{\theta}\). Ошибка при этом получается всегда, но сама точечная оценка её не измеряет: насколько \(\hat{\theta}\) отличается от \(\theta\), она не говорит.

Интервальная оценка указывает интервал \((\theta_1;\ \theta_2)\), которому неизвестная величина \(\theta\) принадлежит с большой наперёд заданной вероятностью. Вместе с интервалом она даёт и меру надёжности — ту самую вероятность, а длина интервала показывает, насколько груба оценка.

Например, по 2000 бросаниям канцелярской кнопки частота \(0{,}4\) — точечная оценка вероятности выпадения острия вверх, а интервал \((0{,}367;\ 0{,}434)\) с вероятностью приблизительно \(0{,}997\) — интервальная оценка той же вероятности.

3. Что такое доверительная вероятность и доверительный интервал?

Доверительным интервалом для неизвестного параметра \(\theta\) называется такой интервал \((a;\ b)\), что событие \(\theta \in (a;\ b)\) имеет большую наперёд заданную вероятность. Эта вероятность называется доверительной вероятностью.

Важно, вероятностью какого события она является: доверительная вероятность — это вероятность того, что неизвестный параметр принадлежит указанному интервалу, а не вероятность того, что параметр равен своей точечной оценке. Сам параметр \(\theta\) — неизвестная постоянная величина; случайны здесь границы интервала, потому что они вычисляются по выборке.

Слово «доверительный» и означает «интервал, которому можно доверять»: чем больше доверительная вероятность, тем больше оснований считать, что параметр в этот интервал попал.

Например, запись «вероятность поломки насоса принадлежит интервалу \((0{,}011;\ 0{,}030)\), доверительная вероятность приблизительно \(0{,}997\)» значит: указанному интервалу неизвестная вероятность принадлежит практически наверняка, а ошибиться здесь можно примерно в трёх случаях из тысячи.