Вопросы после параграфа §45 на странице 217, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Частота события — одно число: если в серии из \(n\) одинаковых опытов событие произошло \(X\) раз, частота равна \(\frac{X}{n}\).
Точечная оценка указывает для неизвестного параметра одно число, а интервальная — интервал вместе с вероятностью, с которой параметр этому интервалу принадлежит. Значит, оценка вероятности частотой — точечная: если в 2000 опытах событие произошло 36 раз, точечная оценка \(\hat{p}\) вероятности \(p\) равна \(\frac{36}{2000} = 0{,}018\) и о величине собственной ошибки ничего не сообщает.
Ответ: Это точечная оценка: частота — одно число, а не интервал.
Точечная оценка указывает для неизвестного параметра \(\theta\) одно число \(\hat{\theta}\) и своей ошибки не измеряет.
Интервальная оценка указывает интервал \((\theta_1;\ \theta_2)\), которому \(\theta\) принадлежит с большой наперёд заданной вероятностью; эта вероятность — мера надёжности, а длина интервала показывает, насколько оценка груба.
По 2000 бросаниям канцелярской кнопки частота \(0{,}4\) — точечная оценка вероятности выпадения острия вверх, а интервал \((0{,}367;\ 0{,}434)\) с вероятностью приблизительно \(0{,}997\) — интервальная оценка той же вероятности.
Ответ: Точечная оценка даёт для неизвестного параметра одно число и о своей ошибке ничего не сообщает, а интервальная даёт интервал и вероятность, с которой параметр этому интервалу принадлежит.
Доверительный интервал для неизвестного параметра \(\theta\) — такой интервал \((a;\ b)\), что событие \(\theta \in (a;\ b)\) имеет большую наперёд заданную вероятность; сама эта вероятность и называется доверительной вероятностью.
Это вероятность того, что параметр принадлежит интервалу, а не того, что он равен своей точечной оценке: \(\theta\) — неизвестная постоянная, случайны границы, вычисляемые по выборке.
Запись «вероятность поломки насоса принадлежит интервалу \((0{,}011;\ 0{,}030)\), доверительная вероятность приблизительно \(0{,}997\)» значит: этому интервалу неизвестная вероятность принадлежит практически наверняка, а ошибиться можно примерно в трёх случаях из тысячи.
Ответ: Доверительный интервал для неизвестного параметра \(\theta\) — это такой интервал \((a;\ b)\), что событие «параметр принадлежит этому интервалу» имеет большую наперёд заданную вероятность; сама эта вероятность и называется доверительной вероятностью.
Частота события — это одно число: если в серии из \(n\) одинаковых опытов событие произошло \(X\) раз, то частота равна \(\frac{X}{n}\).
Оценку, которая указывает для неизвестного параметра одно число, называют точечной. Интервальная оценка указывает не число, а интервал вместе с вероятностью, с которой неизвестный параметр этому интервалу принадлежит.
Значит, оценка неизвестной вероятности частотой — точечная. Например, если в 2000 опытах событие произошло 36 раз, то частота \(\frac{36}{2000} = 0{,}018\) и есть точечная оценка \(\hat{p}\) неизвестной вероятности \(p\). Эта оценка состоятельная и несмещённая, но о величине собственной ошибки она ничего не сообщает — а это и есть признак точечной оценки.
Ответ: Это точечная оценка: частота — одно число, а не интервал.
Точечная оценка указывает для неизвестного параметра \(\theta\) одно число \(\hat{\theta}\). Ошибка при этом получается всегда, но сама точечная оценка её не измеряет: насколько \(\hat{\theta}\) отличается от \(\theta\), она не говорит.
Интервальная оценка указывает интервал \((\theta_1;\ \theta_2)\), которому неизвестная величина \(\theta\) принадлежит с большой наперёд заданной вероятностью. Вместе с интервалом она даёт и меру надёжности — ту самую вероятность, а длина интервала показывает, насколько груба оценка.
Например, по 2000 бросаниям канцелярской кнопки частота \(0{,}4\) — точечная оценка вероятности выпадения острия вверх, а интервал \((0{,}367;\ 0{,}434)\) с вероятностью приблизительно \(0{,}997\) — интервальная оценка той же вероятности.
Ответ: Точечная оценка даёт для неизвестного параметра одно число и о своей ошибке ничего не сообщает, а интервальная даёт интервал и вероятность, с которой параметр этому интервалу принадлежит.
Доверительным интервалом для неизвестного параметра \(\theta\) называется такой интервал \((a;\ b)\), что событие \(\theta \in (a;\ b)\) имеет большую наперёд заданную вероятность. Эта вероятность называется доверительной вероятностью.
Важно, вероятностью какого события она является: доверительная вероятность — это вероятность того, что неизвестный параметр принадлежит указанному интервалу, а не вероятность того, что параметр равен своей точечной оценке. Сам параметр \(\theta\) — неизвестная постоянная величина; случайны здесь границы интервала, потому что они вычисляются по выборке.
Слово «доверительный» и означает «интервал, которому можно доверять»: чем больше доверительная вероятность, тем больше оснований считать, что параметр в этот интервал попал.
Например, запись «вероятность поломки насоса принадлежит интервалу \((0{,}011;\ 0{,}030)\), доверительная вероятность приблизительно \(0{,}997\)» значит: указанному интервалу неизвестная вероятность принадлежит практически наверняка, а ошибиться здесь можно примерно в трёх случаях из тысячи.
Ответ: Доверительный интервал для неизвестного параметра \(\theta\) — это такой интервал \((a;\ b)\), что событие «параметр принадлежит этому интервалу» имеет большую наперёд заданную вероятность; сама эта вероятность и называется доверительной вероятностью.
