Страница 216 номер 454, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(\hat{\theta}\) — случайная величина, построенная по выборке объёмом \(n\), причём \(\mathrm{E}\hat{\theta} = \theta\) и \(\mathrm{D}\hat{\theta} = \frac{1}{4n}\), а \(\theta\) — неизвестная постоянная величина.
Оценка состоятельна, если \(\mathrm{P}(|\hat{\theta} - \theta| > a) \to 0\) для любого \(a > 0\) при \(n \to \infty\); это и надо доказать.
Оценка несмещённая, поэтому отклонение оценки от параметра — это её отклонение от собственного математического ожидания, и неравенство Чебышёва даёт \[\mathrm{P}(|\hat{\theta} - \theta| \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{D}\hat{\theta}}{a^2} = \frac{1}{4na^2}.\]
Из события \(|\hat{\theta} - \theta| > a\) следует событие \(|\hat{\theta} - \theta| \geqslant a\), поэтому \[\mathrm{P}(|\hat{\theta} - \theta| > a) \leqslant \mathrm{P}(|\hat{\theta} - \theta| \geqslant a) \leqslant \frac{1}{4na^2}.\]
Число \(a\) фиксировано, а объём выборки растёт, поэтому \(\frac{1}{4na^2} \to 0\) при \(n \to \infty\); вероятность неотрицательна и не превосходит величины, стремящейся к нулю, значит, \(\mathrm{P}(|\hat{\theta} - \theta| > a) \to 0\) для любого \(a > 0\). Оценка состоятельна.
Ответ: оценка состоятельна: вероятность любого отклонения оценки от параметра \(\theta\) стремится к нулю с ростом объёма выборки.
По случайной выборке объёмом \(n\) построена оценка \(\hat{\theta}\) неизвестного параметра \(\theta\) генеральной совокупности. Известно, что \(\hat{\theta}\) — случайная величина, причём \(\mathrm{E}\hat{\theta} = \theta\) и \(\mathrm{D}\hat{\theta} = \frac{1}{4n}\). Сам параметр \(\theta\) — неизвестная постоянная величина.
Оценка называется состоятельной, если вероятность любого её различия с параметром стремится к нулю, то есть если \(\mathrm{P}(|\hat{\theta} - \theta| > a) \to 0\) для любого \(a > 0\) при \(n \to \infty\). Это и надо доказать.
Для случайной величины и любого \(a > 0\) верно неравенство Чебышёва: вероятность отклонения величины от её математического ожидания не меньше чем на \(a\) не превосходит дисперсии, делённой на \(a^2\). По условию оценка несмещённая, то есть \(\mathrm{E}\hat{\theta} = \theta\), поэтому отклонение оценки от её математического ожидания — это и есть отклонение от параметра \(\theta\), и неравенство Чебышёва даёт \[\mathrm{P}(|\hat{\theta} - \theta| \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{D}\hat{\theta}}{a^2} = \frac{1}{4na^2}.\]
Из события \(|\hat{\theta} - \theta| > a\) следует событие \(|\hat{\theta} - \theta| \geqslant a\), поэтому \[\mathrm{P}(|\hat{\theta} - \theta| > a) \leqslant \mathrm{P}(|\hat{\theta} - \theta| \geqslant a) \leqslant \frac{1}{4na^2}.\]
Число \(a\) здесь любое, но фиксированное, а объём выборки \(n\) растёт, поэтому \(\frac{1}{4na^2} \to 0\) при \(n \to \infty\). Вероятность неотрицательна и не превосходит величины, стремящейся к нулю, значит, \(\mathrm{P}(|\hat{\theta} - \theta| > a) \to 0\) при \(n \to \infty\), и это верно для любого \(a > 0\). Оценка состоятельна.
Ответ: оценка состоятельна: вероятность любого отклонения оценки от параметра \(\theta\) стремится к нулю с ростом объёма выборки.
