Страница 217 номер 455, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Для неизвестной вероятности \(p\) события ищут интервальную оценку; \(\hat{p}\) — точечная оценка этой вероятности.
а) Верно: чем больше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал.
Пусть один доверительный интервал целиком лежит внутри другого. Попав в более узкий интервал, неизвестная вероятность попала и в более широкий, значит, событие «параметр принадлежит узкому интервалу» влечёт событие «параметр принадлежит широкому интервалу», и вероятность первого не больше вероятности второго: сужая интервал, доверительную вероятность увеличить нельзя.
То же по способу построения: интервал берут из требования, чтобы погрешность \(|\hat{p} - p|\) не превышала нескольких стандартных отклонений оценки — двум отвечает вероятность около \(0{,}95\), трём — приблизительно \(0{,}997\). Чем больше стандартных отклонений разрешено погрешности, тем шире интервал.
б) Неизвестная вероятность события заключена строго между нулём и единицей: \(p = 0\) означало бы, что событие невозможно, а \(p = 1\) — что оно достоверно, и оценивать было бы нечего. Значит, событие «неизвестная вероятность принадлежит интервалу от нуля до единицы» достоверно, и доверительная вероятность интервала \((0;\ 1)\) равна единице.
Более узкий интервал единицы не даст: вне него остаются возможные значения вероятности. Пользы от интервала \((0;\ 1)\) никакой — это плата за доверительную вероятность, равную единице.
Ответ: а) верно, чем больше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал; б) нужно взять интервал \((0;\ 1)\).
Речь об интервальной оценке неизвестной вероятности \(p\) события: надо указать интервал, которому эта вероятность принадлежит с заданной доверительной вероятностью.
а) Верно: чем больше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал.
Пусть один доверительный интервал целиком лежит внутри другого. Если неизвестная вероятность попала в более узкий интервал, то она попала и в более широкий. Значит, событие «параметр принадлежит узкому интервалу» влечёт событие «параметр принадлежит широкому интервалу», и вероятность первого не больше вероятности второго. Сужая интервал, доверительную вероятность увеличить нельзя.
То же видно и по способу построения интервала. Его берут из требования, чтобы погрешность \(|\hat{p} - p|\) не превышала нескольких стандартных отклонений оценки: двум стандартным отклонениям отвечает вероятность около \(0{,}95\), трём — приблизительно \(0{,}997\). Чем больше стандартных отклонений мы разрешаем погрешности, тем больше доверительная вероятность и тем шире получается интервал.
б) Чтобы доверительная вероятность равнялась 1, нужно взять интервал \((0;\ 1)\).
Неизвестная вероятность события заключена строго между нулём и единицей: равенство \(p = 0\) означало бы, что событие невозможно, а \(p = 1\) — что оно достоверно, и оценивать тогда было бы нечего. Значит, событие «неизвестная вероятность принадлежит интервалу от нуля до единицы» происходит при любом значении этой вероятности, то есть оно достоверно, и его вероятность равна 1. Доверительная вероятность интервала \((0;\ 1)\) равна единице.
Более узкий интервал единицы уже не даст: вне него остаются значения, которые неизвестная вероятность вполне может принимать, поэтому попадание в такой интервал не является достоверным событием. Пользы от интервала \((0;\ 1)\) никакой — он не сообщает о вероятности \(p\) ничего нового, и это плата за доверительную вероятность, равную единице.
Ответ: а) верно, чем больше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал; б) нужно взять интервал \((0;\ 1)\).
