Вопросы после параграфа §42 на странице 206, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Если какое-то свойство множества объектов — предметов, людей, наблюдений — нужно исследовать и описать с помощью статистики, то само это множество называют генеральной совокупностью. Численность генеральной совокупности называют её объёмом; объём может быть и бесконечным.

Например, при исследовании остроты зрения старшеклассников России генеральная совокупность — все старшеклассники страны, изучаемое свойство — острота зрения, а объём такой совокупности — миллионы человек. Задаёт генеральную совокупность сам вопрос исследования, а не удобство сбора данных: раз спрашивают об остроте зрения именно старшеклассников, то ученики средних классов и взрослые в неё не входят.

Ответ: генеральная совокупность — это множество объектов, какое-то свойство которого исследуют и описывают с помощью статистики; численность этого множества называют объёмом генеральной совокупности, и он может быть бесконечным.

Конечная генеральная совокупность — все старшеклассники России. Их очень много, несколько миллионов, но это конечное число: в принципе каждого из них можно было бы обследовать. Такие же конечные совокупности — все жители Омска, все автомобили, зарегистрированные в городе, все слова в словаре.

Бесконечная генеральная совокупность — все броски монеты. Монету можно бросать сколько угодно раз, и множество её бросков ничем не ограничено; сколько бросков ни сделай, следующий бросок тоже принадлежит этой совокупности. Так же устроены все измерения напряжения в сети: их можно делать сколько угодно.

Различает эти два случая не размер, а именно исчерпаемость: совокупность из миллионов старшеклассников велика, но конечна, а совокупность бросков монеты конечной не бывает ни при какой длине серии.

Ответ: конечная генеральная совокупность — все старшеклассники России (их несколько миллионов, но число конечно); бесконечная — все броски монеты, поскольку бросать её можно сколько угодно раз.

Выборка — это часть генеральной совокупности, которую отбирают и изучают вместо всей совокупности, когда сплошное исследование невозможно или невыгодно. Число отобранных элементов называют объёмом выборки.

Удобно считать выборку не набором объектов, а набором случайных величин, подчинённых одному распределению, — тому самому, которое связано с изучаемым признаком в генеральной совокупности. Например, если измерить остроту зрения у тысячи случайно выбранных старшеклассников, получится тысяча случайных величин \(V_1\), \(V_2\), …, \(V_{1000}\), и каждая из них имеет одно и то же распределение — распределение остроты зрения случайно выбранного старшеклассника.

Важно, чтобы эти величины были независимы, иначе среднее значение выборки может не подчиняться закону больших чисел, а без него переносить выводы с выборки на всю совокупность нельзя. Поэтому шансы каждого старшеклассника попасть в выборку не должны зависеть от того, кто попал в неё, кроме него.

Ответ: выборка — часть генеральной совокупности, отобранная для изучения вместо всей совокупности; её удобно считать не набором объектов, а набором независимых случайных величин, подчинённых одному распределению — распределению изучаемого признака в генеральной совокупности; число этих величин называют объёмом выборки.

При сплошном обследовании изучают все без исключения элементы генеральной совокупности и находят её характеристики — среднее, медиану, наибольшее значение, дисперсию — точно, по всем данным. Так устроены перепись населения, измерение и взвешивание всех школьников на медосмотре, составление географического справочника, где описаны все реки и все озёра.

При выборочном исследовании изучают только выборку, а выводы, полученные по ней, переносят на всю генеральную совокупность. Точных характеристик совокупности здесь не получают: их заменяют близкими числами, найденными по выборке. Перенос законен благодаря закону больших чисел, но он даёт верный вывод не наверняка, а лишь с большой вероятностью, и только тогда, когда выборка репрезентативна.

Значит, отличие двоякое: в том, что именно обследуют (всю совокупность или её часть), и в том, каков итог (точные характеристики совокупности или близкие к ним числа, верные с большой вероятностью).

Ответ: при сплошном обследовании изучают все элементы генеральной совокупности и находят её характеристики точно; при выборочном изучают лишь выборку, а выводы переносят на всю совокупность по закону больших чисел — они оказываются верными не наверняка, а с большой вероятностью, и лишь при репрезентативной выборке.

Достоинства.

Выборочное исследование применимо там, где сплошное невозможно вовсе: генеральная совокупность может быть бесконечной (все броски монеты сосчитать нельзя) или очень обширной, и не все её элементы доступны.

Оно дешевле и быстрее: перепись населения проводят раз в несколько лет и огромными силами, а опрос двух тысяч человек можно повторять хоть каждый месяц и следить, как меняются ответы.

Оно часто оказывается даже точнее сплошного. Обследуя миллионы объектов, приходится работать наспех: часть людей не удаётся застать, часть данных вносят с ошибками, а пока собирают последние сведения, первые успевают устареть. Небольшую же выборку можно обследовать внимательно, точными приборами и хорошо подготовленными людьми.

Недостатки.

Вывод по выборке верен не наверняка, а лишь с большой вероятностью: даже случайная выборка может оказаться «перекошенной», хотя это и маловероятно.

О репрезентативности приходится специально заботиться: если способ отбора даёт предпочтение какой-то части генеральной совокупности, вывод будет неверным, а сам опрос этого не покажет — по выборке не видно, что она перекошена.

Чем меньше объём выборки, тем больше возможное расхождение между найденным по ней числом и характеристикой всей совокупности. Наконец, редкий признак, встречающийся у единиц из совокупности, в выборку может не попасть вовсе, и сплошное обследование для него незаменимо.

Ответ: достоинства выборочного исследования — оно применимо и тогда, когда совокупность бесконечна или очень обширна, а её элементы недоступны, оно дешевле и быстрее сплошного и часто оказывается даже точнее, потому что небольшую выборку удаётся обследовать тщательнее; недостатки — вывод верен лишь с большой вероятностью, а не наверняка, выборка может оказаться «перекошенной» и о её репрезентативности приходится заботиться особо, а при малом объёме выборки расхождение с характеристикой всей совокупности велико.

Репрезентативная выборка из генеральной совокупности — это выборка, в которой изучаемый признак представлен хорошо, то есть занимает примерно ту же долю, что и в самой генеральной совокупности. Само слово «репрезентативный» и значит «представительный, типичный, показательный».

Например, если в городе левши составляют \(10\,\%\) жителей, то в репрезентативной выборке из \(500\) горожан левшей окажется около \(10\,\%\) от \(500\), то есть примерно \(50\) человек. Если же их там всего \(5\) или, наоборот, \(200\), то по такой выборке доля левшей в городе будет определена неверно, и выборка не репрезентативна.

Выборка из бросков монеты будет репрезентативной, если брошенная монета не имеет дефектов: тогда доля орлов в выборке близка к доле орлов во всей бесконечной совокупности бросков.

Ответ: репрезентативная выборка — это выборка, в которой изучаемый признак представлен хорошо, то есть занимает примерно ту же долю, что и в самой генеральной совокупности.

Случайная выборка — это выборка, сформированная с помощью случайного выбора без предпочтений. Такой отбор выбран не ради удобства, а по трём причинам сразу.

Во-первых, случайный выбор — наилучший способ собрать репрезентативную выборку. Никакая часть генеральной совокупности не имеет при нём преимущества, поэтому любой признак попадает в выборку примерно в той же доле, в какой он есть в совокупности.

Во-вторых, при случайном отборе все наблюдения подчиняются одному и тому же распределению — распределению изучаемого признака в генеральной совокупности, и они независимы: кто попал в выборку, не влияет на то, кто попадёт в неё ещё. А независимость и одинаковая распределённость — это как раз те условия, при которых работает закон больших чисел, на котором и держится перенос выводов с выборки на всю совокупность.

В-третьих, при любом неслучайном отборе — по удобству сбора, по готовности отвечать, по близости к исследователю — выборка систематически перекашивается в одну сторону, и увеличение её объёма этого не исправляет: тысяча опрошенных у входа в спортивный зал скажет о занятиях спортом не больше правды, чем сотня.

Ответ: потому что случайный выбор без предпочтений — наилучший способ сделать выборку репрезентативной: при нём ни одна часть генеральной совокупности не имеет преимущества, все наблюдения независимы и подчинены одному распределению, а без этих двух свойств не работает закон больших чисел, благодаря которому выводы по выборке переносят на всю генеральную совокупность; при неслучайном же отборе выборка перекашивается систематически, и увеличение её объёма этого не исправляет.