Страница 202 номер 438, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(p\) — вероятность того, что случайно выбранный житель страны обладает признаком П; неизвестна
\(F\) — частота признака П среди опрошенных
\(a = 0{,}1\) — допустимое отклонение оценки от вероятности
\(0{,}05\) — допустимая вероятность ошибки
Найти: \(n\) — число жителей, которых надо опросить.
Решение:
Опрос — серия из \(n\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, успех — событие «опрошенный обладает признаком П»; жителей выбирают случайно и независимо друг от друга, поэтому вероятность успеха в каждом испытании одна и та же и равна \(p\).
Вероятность \(p\) неизвестна — её и оценивают, неизвестна и вероятность \(q = 1 - p\), поэтому в дробь \(\frac{pq}{na^{2}}\) подставить нечего и работает универсальная оценка \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{1}{4na^{2}}\), верная при любой вероятности успеха, потому что \(pq \leqslant \frac{1}{4}\). Допустимое отклонение \(a = 0{,}1\), поэтому \(a^{2} = 0{,}01\) и \[\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}1\right) \leqslant \frac{1}{4n \cdot 0{,}1^{2}} = \frac{1}{0{,}04n} = \frac{25}{n}.\]
Вероятность ошибки — вероятность события \(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}1\) — не должна превосходить \(0{,}05\): \[\frac{25}{n} \leqslant 0{,}05, \text{ откуда } n \geqslant \frac{25}{0{,}05} = 500.\]
Проверка: при \(n = 500\) дробь \(\frac{25}{500} = 0{,}05\), то есть вероятность ошибки не больше допустимой, а вероятность того, что частота признака П отличается от его вероятности меньше чем на \(0{,}1\), не меньше чем \(0{,}95\); при большем числе опрошенных дробь только уменьшается, поэтому годится любое \(n \geqslant 500\).
Ответ: надо опросить не менее 500 случайно выбранных жителей страны.
Дано:
\(p\) — вероятность того, что случайно выбранный житель страны обладает признаком П; неизвестна
\(F\) — частота признака П среди опрошенных
\(a = 0{,}1\) — допустимое отклонение оценки от вероятности
\(0{,}05\) — допустимая вероятность ошибки
Найти: \(n\) — число жителей, которых надо опросить.
Решение:
Вероятность \(p\) того, что случайно выбранный житель страны обладает признаком П (страдает астигматизмом, водит автомобиль, служил в армии), оценивают частотой \(F\) этого признака среди \(n\) опрошенных. Оценка обладает нужными свойствами, если отклонение частоты от вероятности меньше чем \(0{,}1\), а вероятность ошибки — то есть вероятность события \(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}1\) — не больше чем \(0{,}05\).
Опрос — это серия из \(n\) испытаний Бернулли, в которой успех — событие «опрошенный обладает признаком П». Жителей выбирают случайно и независимо друг от друга, поэтому испытания независимы и одинаковы: вероятность успеха в каждом одна и та же и равна доле жителей страны с признаком П, то есть \(p\).
Именно эта вероятность и неизвестна — её и оценивают. Неизвестна тогда и вероятность \(q = 1 - p\) того, что признака П у жителя нет, поэтому в дробь \(\frac{pq}{na^{2}}\) подставить нечего, и работает универсальная оценка \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{1}{4na^{2}}\), верная при любой вероятности успеха, потому что \(pq \leqslant \frac{1}{4}\). Допустимое отклонение \(a = 0{,}1\), поэтому \(a^{2} = 0{,}01\) и \[\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}1\right) \leqslant \frac{1}{4n \cdot 0{,}1^{2}} = \frac{1}{0{,}04n} = \frac{25}{n}.\]
Сделаем дробь \(\frac{25}{n}\) не больше допустимой вероятности ошибки: \[\frac{25}{n} \leqslant 0{,}05, \text{ откуда } n \geqslant \frac{25}{0{,}05} = 500.\]
Проверка: при \(n = 500\) получаем \(\frac{25}{500} = 0{,}05\), то есть вероятность ошибки \(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}1\) не больше допустимой, а вероятность того, что частота признака П отличается от его вероятности меньше чем на \(0{,}1\), не меньше чем \(0{,}95\). При большем числе опрошенных дробь \(\frac{25}{n}\) только уменьшается, поэтому годится любое \(n \geqslant 500\).
Ответ: надо опросить не менее 500 случайно выбранных жителей страны.
