Вопросы после параграфа §41 на странице 202, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава IX. Закон больших чисел. §41. Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли. Страница 202, вопросы после параграфа §41

Решение:

1. Почему теорему Чебышёва можно применить к последовательности индикаторов одинаковых и независимых испытаний Бернулли с неизвестной вероятностью успеха?

Теорема Чебышёва требует трёх вещей: величины независимы, одинаково распределены и у каждой есть математическое ожидание и дисперсия. Знать эти числа теорема не требует — нужно лишь, чтобы они существовали.

\(I_k\) — индикатор успеха в \(k\)-м испытании серии из \(n\) одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) и вероятностью неудачи \(q = 1 - p\): \(I_k = 1\), если \(k\)-е испытание окончилось успехом, и \(I_k = 0\), если нет. \[I_k \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}.\]

Индикаторы независимы, потому что независимы испытания; распределены одинаково, потому что испытания одинаковы; \(\mathrm{E}I_k = 0 \cdot q + 1 \cdot p = p\) и \(\mathrm{D}I_k = pq\) существуют при любой вероятности успеха, известна она или нет.

Значит, теорема Чебышёва применима и для произвольного положительного числа \(a\) даёт \(\mathrm{P}\left(\left|\overline{I} - p\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1\).

Среднее индикаторов \(\overline{I} = \frac{I_1 + I_2 + \ldots + I_n}{n}\) — это частота успеха: сумма в числителе равна числу успехов, а деление на число испытаний даёт долю успехов, то есть \(\overline{I} = F\). Поэтому вывод теоремы Чебышёва превращается в теорему Бернулли: \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1\).

Ответ: потому что индикаторы независимы (независимы испытания), одинаково распределены (испытания одинаковы) и у каждого есть математическое ожидание \(\mathrm{E}I_k = p\) и дисперсия \(\mathrm{D}I_k = pq\); существование ожидания и дисперсии — это всё, что нужно теореме Чебышёва, а знать их значения, то есть знать \(p\), она не требует. Среднее индикаторов \(\overline{I}\) равно частоте успеха \(F\), поэтому теорема даёт \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1\).

2. Сформулируйте теорему Бернулли.

Теорема Бернулли (близость частоты и вероятности). Пусть проводится серия из \(n\) независимых испытаний Бернулли с вероятностью \(p\) успеха в каждом отдельном испытании, \(F\) — частота успеха в этой серии. Пусть \(a > 0\) — произвольное положительное число. Тогда вероятность события «частота успеха отличается от вероятности успеха меньше чем на \(a\)» стремится к 1 с ростом \(n\): \[\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1.\]

Краткая, но не очень строгая формулировка: с ростом числа испытаний частота успеха стремится к его вероятности. Утверждается не то, что частота становится равной вероятности, а то, что вероятность их близости становится сколь угодно близкой к 1, причём число \(a\) задаётся заранее и может быть каким угодно малым.

Ответ: если проводится серия из \(n\) независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) в каждом отдельном испытании, а \(F\) — частота успеха, то для произвольного положительного числа \(a\) вероятность события «частота успеха отличается от вероятности успеха меньше чем на \(a\)» стремится к 1 с ростом числа испытаний: \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1\).

3. Верно ли, что при росте числа испытаний в серии Бернулли частота неудачи стремится к её вероятности?

Верно. В серии из \(n\) независимых испытаний Бернулли вероятность успеха равна \(p\), вероятность неудачи \(q = 1 - p\), частота успеха равна \(F\).

Успехов в серии \(nF\), значит, неудач \(n - nF\), и частота неудачи равна \(\frac{n - nF}{n} = 1 - F\).

Отклонение частоты неудачи от её вероятности в точности равно отклонению частоты успеха от своей вероятности, поэтому для произвольного положительного числа \(a\) событие «частота неудачи отличается от вероятности неудачи меньше чем на \(a\)» и событие «частота успеха отличается от вероятности успеха меньше чем на \(a\)» — одно и то же событие, и по теореме Бернулли \[\mathrm{P}\left(\left|(1 - F) - q\right| < a\right) = \mathrm{P}\left(\left|F - p\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1.\]

Ответ: верно; частота неудачи равна \(1 - F\), её вероятность равна \(q = 1 - p\), а \(\left|(1 - F) - (1 - p)\right| = \left|F - p\right|\), поэтому вероятность события «частота неудачи отличается от вероятности неудачи меньше чем на \(a\)» стремится к 1 при росте числа испытаний для произвольного положительного числа \(a\).

Решение:

Теорема Чебышёва (закон больших чисел) предъявляет к последовательности величин \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) три требования: величины независимы, одинаково распределены и у каждой есть математическое ожидание \(m\) и дисперсия \(d\). Знать числа \(m\) и \(d\) теорема не требует — нужно лишь, чтобы они существовали.

Пусть проводится серия из \(n\) одинаковых и независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) и вероятностью неудачи \(q = 1 - p\). Введём индикатор \(I_k\) успеха в \(k\)-м испытании: \(I_k = 1\), если \(k\)-е испытание окончилось успехом, и \(I_k = 0\), если нет. Каждый индикатор — бинарная случайная величина с распределением \[I_k \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}.\]

Все три требования выполнены. Индикаторы независимы, потому что независимы сами испытания. Они одинаково распределены, потому что испытания одинаковы: вероятность успеха в каждом одна и та же. Наконец, у каждого индикатора есть математическое ожидание \(\mathrm{E}I_k = 0 \cdot q + 1 \cdot p = p\) и дисперсия \(\mathrm{D}I_k = pq\), и существуют эти числа при любой вероятности успеха, известна она или нет. Например, при \(p = 0{,}3\) было бы \(\mathrm{E}I_k = 0{,}3\) и \(\mathrm{D}I_k = 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21\), а при \(p = 0{,}7\) — \(\mathrm{E}I_k = 0{,}7\) и та же дисперсия \(0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}21\); какой из этих случаев перед нами, для применения теоремы неважно.

Значит, к последовательности \(I_1\), \(I_2\), …, \(I_n\) теорема Чебышёва применима и для произвольного положительного числа \(a\) даёт \[\mathrm{P}\left(\left|\overline{I} - p\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1.\]

Среднее индикаторов \(\overline{I} = \frac{I_1 + I_2 + \ldots + I_n}{n}\) — это как раз частота успеха: сумма в числителе равна числу успехов в серии, а после деления на число испытаний получается доля успехов, то есть \(\overline{I} = F\). Поэтому вывод теоремы Чебышёва превращается в \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1\) — в теорему Бернулли.

2. Сформулируйте теорему Бернулли.

Теорема Бернулли (близость частоты и вероятности). Пусть проводится серия из \(n\) независимых испытаний Бернулли с вероятностью \(p\) успеха в каждом отдельном испытании, и пусть \(F\) — частота успеха в этой серии. Пусть \(a > 0\) — произвольное положительное число. Вероятность события «частота успеха отличается от вероятности успеха меньше чем на \(a\)» стремится к 1 с ростом \(n\): \[\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1.\]

Краткая, но не очень строгая формулировка: с ростом числа испытаний частота успеха стремится к его вероятности. Точный смысл несёт первая формулировка: утверждается не то, что частота становится равной вероятности, а то, что вероятность их близости становится сколь угодно близкой к 1, причём число \(a\) задаётся заранее и может быть каким угодно малым.

Например, стрелок попадает в мишень при одном выстреле с вероятностью \(p = 0{,}8\), выстрелы независимы, а \(F\) — частота попаданий в серии из \(n\) выстрелов. Возьмём \(a = 0{,}01\). Теорема утверждает, что вероятность события «частота попаданий отличается от вероятности попадания меньше чем на \(0{,}01\)» с ростом числа выстрелов стремится к 1. Насколько она велика уже при \(n = 100\,000\), показывает неравенство Чебышёва для частоты: \(\mathrm{P}\left(\left|F - 0{,}8\right| \geqslant 0{,}01\right) \leqslant \frac{0{,}8 \cdot 0{,}2}{100\,000 \cdot 0{,}01^{2}} = \frac{0{,}16}{10} = 0{,}016\), поэтому частота попаданий лежит в интервале \((0{,}79;\ 0{,}81)\) с вероятностью не менее чем \(1 - 0{,}016 = 0{,}984\).

3. Верно ли, что при росте числа испытаний в серии Бернулли частота неудачи стремится к её вероятности?

Верно. Пусть в серии из \(n\) независимых испытаний Бернулли вероятность успеха равна \(p\), вероятность неудачи \(q = 1 - p\), а частота успеха равна \(F\).

Каждое испытание кончается либо успехом, либо неудачей, поэтому число успехов и число неудач в сумме дают \(n\). Успехов в серии \(nF\), значит, неудач \(n - nF\), и частота неудачи равна \(\frac{n - nF}{n} = 1 - F\).

Значит, для произвольного положительного числа \(a\) событие «частота неудачи отличается от вероятности неудачи меньше чем на \(a\)» и событие «частота успеха отличается от вероятности успеха меньше чем на \(a\)» — это одно и то же событие, и вероятность у них общая. По теореме Бернулли она стремится к 1: \[\mathrm{P}\left(\left|(1 - F) - q\right| < a\right) = \mathrm{P}\left(\left|F - p\right| < a\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1.\]

Тот же вывод даёт и прямая замена ролей: неудача — такое же событие серии испытаний Бернулли, как и успех, и если считать успехом именно её, получится серия испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(q\), к которой теорема Бернулли применима без всяких изменений.