Страница 202 номер 434, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Монету бросают 400 раз. Оцените с помощью неравенства Чебышёва вероятность события «частота выпадения орла не попадёт в интервал \((0{,}45;\ 0{,}55)\)».
Бросание монеты 400 раз — серия из \(n = 400\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, успех — выпадение орла, \(F\) — его частота; монету считаем симметричной, обе стороны равновозможны: \(p = 0{,}5\), \(q = 1 - p = 0{,}5\).
Интервал \((0{,}45;\ 0{,}55)\) симметричен относительно \(p = 0{,}5\): \(0{,}5 - 0{,}45 = 0{,}05\) и \(0{,}55 - 0{,}5 = 0{,}05\). Значит, «частота выпадения орла не попадёт в интервал \((0{,}45;\ 0{,}55)\)» — это событие \(\left|F - 0{,}5\right| \geqslant 0{,}05\), и допустимое отклонение \(a = 0{,}05\).
Нужно как раз большое отклонение, поэтому противоположное событие не понадобится; вероятность успеха известна, и неравенство Чебышёва для частоты успеха \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{pq}{na^{2}}\) даёт \[\mathrm{P}\left(\left|F - 0{,}5\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{400 \cdot 0{,}05^{2}} = \frac{0{,}25}{400 \cdot 0{,}0025} = \frac{0{,}25}{1} = 0{,}25.\]
Оценка верхняя, поэтому вероятность события не больше чем \(0{,}25\).
Ответ: вероятность события «частота выпадения орла не попадёт в интервал \((0{,}45;\ 0{,}55)\)» не более чем \(0{,}25\).
Монету бросают 400 раз. Оцените с помощью неравенства Чебышёва вероятность события «частота выпадения орла не попадёт в интервал \((0{,}45;\ 0{,}55)\)».
Бросание монеты 400 раз — это серия из \(n = 400\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, в которой успех — выпадение орла. Монету считаем симметричной, обе её стороны равновозможны: \(p = 0{,}5\) — вероятность выпадения орла в одном бросании, \(q = 1 - p = 0{,}5\) — вероятность выпадения решки. Частота выпадения орла \(F\) — это доля бросаний, в которых выпал орёл.
Интервал \((0{,}45;\ 0{,}55)\) симметричен относительно \(p = 0{,}5\): \(0{,}5 - 0{,}45 = 0{,}05\) и \(0{,}55 - 0{,}5 = 0{,}05\). Значит, попадание частоты в этот интервал — это событие \(\left|F - 0{,}5\right| < 0{,}05\), а интересующее нас событие «частота выпадения орла не попадёт в интервал \((0{,}45;\ 0{,}55)\)» — противоположное к нему, то есть \(\left|F - 0{,}5\right| \geqslant 0{,}05\), и допустимое отклонение здесь \(a = 0{,}05\).
Вероятность как раз такого, большого, отклонения частоты от вероятности и оценивает сверху неравенство Чебышёва для частоты успеха: \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{pq}{na^{2}}\). Нужное нам событие — как раз большое отклонение, поэтому переходить к противоположному событию не требуется. Вероятность успеха известна, поэтому подставляем её прямо: \[\mathrm{P}\left(\left|F - 0{,}5\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{400 \cdot 0{,}05^{2}} = \frac{0{,}25}{400 \cdot 0{,}0025} = \frac{0{,}25}{1} = 0{,}25.\]
Неравенство Чебышёва даёт верхнюю оценку, поэтому вероятность события не больше чем \(0{,}25\).
Ответ: вероятность события «частота выпадения орла не попадёт в интервал \((0{,}45;\ 0{,}55)\)» не более чем \(0{,}25\).
