Страница 199 номер 433, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(X\) — время горения одной спички «Рыбацкие»
\(t = \mathrm{E}X\) — среднее время горения спички
\(\sqrt{\mathrm{D}X} = 30\) с — стандартное отклонение времени горения одной спички
\(n = 100\) — число взятых спичек
\(a = 10\) с — граница отличия среднего времени горения от \(t\)
Найти: нижнюю оценку вероятности того, что среднее время горения 100 спичек отличается от \(t\) не более чем на 10 с.
Решение:

Здесь два разных средних, и различать их необходимо. Среднее время горения \(t\) — это математическое ожидание времени горения спички, одно и то же для всех спичек этого сорта; как раз оно и неизвестно. Среднее время горения взятых 100 спичек — случайная величина: у другой сотни спичек оно получится другим. Оценить надо отличие этой случайной величины от числа \(t\).

Дисперсия — квадрат стандартного отклонения, поэтому \(\mathrm{D}X = 30^2 = 900\) (единицы измерения при вычислении дисперсии не указывают).

Времена горения взятых спичек — случайные величины \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_{100}\). Спички одинаковые, и горят они независимо друг от друга, поэтому эти величины независимы и имеют одно и то же распределение — то же, что и величина \(X\): \(\mathrm{E}X_k = t\) и \(\mathrm{D}X_k = 900\) при каждом номере \(k\). Среднее время горения взятых спичек — их среднее арифметическое \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_{100}}{100}\).

Математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию одного наблюдения, \(\mathrm{E}\bar{X} = t\), а дисперсия среднего арифметического \(n\) независимых одинаково распределённых величин в \(n\) раз меньше дисперсии одного наблюдения: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}\bar{X} = \mathrm{D}\left(\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_{100}}{100}\right) = {} \\ &= \frac{1}{100^2}\left(\mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_2 + \ldots + \mathrm{D}X_{100}\right) = \frac{1}{100^2} \cdot 100 \cdot 900 = \frac{900}{100} = 9. \end{aligned}\]

У величины \(\bar{X}\) есть и математическое ожидание, и дисперсия, поэтому к ней применимо неравенство Чебышёва. При \(a = 10\) оно даёт верхнюю оценку вероятности большого отличия: \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - t\right| \geqslant 10\right) \leqslant \frac{\mathrm{D}\bar{X}}{a^2} = \frac{9}{10^2} = \frac{9}{100} = 0{,}09.\]

Событие \(\left|\bar{X} - t\right| < 10\) противоположно событию \(\left|\bar{X} - t\right| \geqslant 10\), поэтому его вероятность не меньше чем \(1 - 0{,}09\): \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - t\right| < 10\right) \geqslant 1 - 0{,}09 = 0{,}91.\]

Отличие не более 10 с — это событие \(\left|\bar{X} - t\right| \leqslant 10\). Оно содержит событие \(\left|\bar{X} - t\right| < 10\), поэтому его вероятность тем более не меньше 0,91.

Ответ: вероятность того, что среднее время горения взятых 100 спичек отличается от среднего времени горения \(t\) не более чем на 10 с, не менее 0,91.