Вопросы после параграфа §2 на странице 12, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Выброс — это значение, которое сильно отличается от большинства значений массива.
Первая причина — ошибка при сборе или записи данных: перепутана единица измерения, потеряна или лишняя цифра, случайно нажата соседняя клавиша. В списке масс посылок \(2{,}4\); \(1{,}8\); \(3{,}1\); \(0{,}9\); 2600 кг последнее число записано не в килограммах, а в граммах; такой выброс исправляют или удаляют.
Вторая причина — неоднородность данных: в списке численности населения городов области численность областного центра в несколько раз больше численности любого райцентра. Здесь выброс не ошибка, а свойство самих данных.
Ответ: Выбросы возникают из-за ошибок при сборе и записи данных (перепутанная единица измерения, лишняя или потерянная цифра) и из-за неоднородности данных, когда один из объектов действительно резко отличается от остальных.
Преимущество медианы — устойчивость к выбросам: она определяется одним-двумя центральными значениями массива, а среднее арифметическое в равной мере зависит от всех чисел, и одно очень большое или очень малое значение утаскивает его далеко от типичных.
Зарплаты в маленькой фирме: 30; 32; 35; 36; 40; 42; 45 тыс. р. Среднее арифметическое равно \(\frac{260}{7} \approx 37{,}1\) тыс. р., медиана — четвёртое число ряда, то есть 36 тыс. р.
С зарплатой директора 900 тыс. р. среднее арифметическое стало равно \(\frac{1160}{8} = 145\) тыс. р. — больше зарплаты каждого из семи сотрудников, а медиана стала равна \(\frac{36 + 40}{2} = 38\) тыс. р. и по-прежнему описывает типичную зарплату.
Пользоваться медианой стоит тогда, когда в данных есть выбросы или данные неоднородны, а удалить выбросы нельзя.
Ответ: Преимущество медианы — устойчивость к выбросам; пользоваться ею вместо среднего арифметического стоит тогда, когда в данных есть выбросы или данные неоднородны, а устранить выбросы нельзя.
Медиана учитывает лишь одно-два центральных значения массива; остальные числа влияют на неё только своим количеством слева и справа, а их величины теряются. Поэтому при описании данных медианой теряется больше информации, чем при описании средним арифметическим.
У массивов \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5\) и \(1;\ 2;\ 3;\ 400;\ 500\) серединное число одно и то же, равное 3, поэтому медианы одинаковы. Но устроены массивы совсем по-разному, и среднее арифметическое это различает: у первого оно равно \(\frac{15}{5} = 3\), у второго — \(\frac{906}{5} = 181{,}2\).
Ответ: Недостаток медианы в том, что она учитывает лишь одно-два центральных значения массива, а величины остальных чисел не учитывает вовсе, поэтому при её использовании теряется больше информации о данных, чем при использовании среднего арифметического.
Выброс — это значение, которое сильно отличается от большинства значений массива. Причины выбросов бывают двух видов.
Первая причина — ошибка при сборе или при записи данных: перепутана единица измерения, потеряна или лишняя цифра, случайно нажата соседняя клавиша. Например, в списке масс посылок \(2{,}4\); \(1{,}8\); \(3{,}1\); \(0{,}9\); 2600 кг последнее число записано не в килограммах, а в граммах. Такой выброс — ошибка, и его надо исправить или удалить.
Вторая причина — неоднородность данных: объект действительно резко отличается от остальных. Например, в списке численности населения городов области численность областного центра в несколько раз больше численности любого райцентра. Здесь выброс не ошибка, а свойство самих данных.
Ответ: Выбросы возникают из-за ошибок при сборе и записи данных (перепутанная единица измерения, лишняя или потерянная цифра) и из-за неоднородности данных, когда один из объектов действительно резко отличается от остальных.
Преимущество медианы — устойчивость к выбросам. Медиана определяется одним-двумя центральными значениями массива, поэтому случайный выброс или даже несколько выбросов на неё не влияют или влияют незначительно. Среднее арифметическое, наоборот, в равной мере зависит от всех чисел, и одно очень большое или очень малое значение утаскивает его далеко от типичных значений.
Пусть месячные зарплаты в маленькой фирме таковы: 30; 32; 35; 36; 40; 42; 45 тыс. р. Среднее арифметическое равно \(\frac{260}{7} \approx 37{,}1\) тыс. р., медиана — серединное, четвёртое число ряда, то есть 36 тыс. р. Пусть теперь в фирму пришёл директор с зарплатой 900 тыс. р. Среднее арифметическое стало равно \(\frac{1160}{8} = 145\) тыс. р. — почти вчетверо больше прежнего и больше зарплаты каждого из семи сотрудников. Медиана же стала равна полусумме двух серединных чисел \(\frac{36 + 40}{2} = 38\) тыс. р., то есть почти не изменилась и по-прежнему описывает типичную зарплату.
Пользоваться медианой стоит тогда, когда в данных есть выбросы или данные неоднородны, а удалить выбросы нельзя.
Ответ: Преимущество медианы — устойчивость к выбросам; пользоваться ею вместо среднего арифметического стоит тогда, когда в данных есть выбросы или данные неоднородны, а устранить выбросы нельзя.
Медиана учитывает не все значения массива, а лишь одно-два центральных. Все остальные числа влияют на неё только своим количеством слева и справа, а их величины при вычислении медианы теряются. Поэтому при описании данных медианой теряется гораздо больше информации о массиве, чем при описании средним арифметическим.
Сравним два массива: \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5\) и \(1;\ 2;\ 3;\ 400;\ 500\). В обоих по пять чисел, и серединное число в обоих равно 3, поэтому медианы одинаковы. Но массивы устроены совсем по-разному, и среднее арифметическое это различает: у первого массива оно равно \(\frac{15}{5} = 3\), у второго — \(\frac{906}{5} = 181{,}2\).
Ответ: Недостаток медианы в том, что она учитывает лишь одно-два центральных значения массива, а величины остальных чисел не учитывает вовсе, поэтому при её использовании теряется больше информации о данных, чем при использовании среднего арифметического.
