Вопросы после параграфа §1 на странице 9, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Медиана конечного числового массива — это такое число \(m\), что хотя бы половина чисел массива не больше числа \(m\) и хотя бы половина чисел массива не меньше числа \(m\).

Слова «хотя бы» в определении существенны: при нечётном количестве чисел разделить массив на две одинаковые по численности части невозможно.

Если чисел в массиве нечётное количество, медианой служит серединное число вариационного ряда. Например, у массива \(1;\ 4;\ 6\) медиана равна 4: не больше четырёх здесь два числа из трёх, и не меньше четырёх тоже два числа из трёх, а два — это больше половины от трёх.

Если чисел чётное количество, определению удовлетворяет любое число, заключённое между двумя серединными числами вариационного ряда, вместе с самими этими числами. Например, у массива \(1;\ 4;\ 6;\ 10\) медианой является любое число от 4 до 6. Чтобы устранить неоднозначность, по соглашению за медиану берут среднее арифметическое двух серединных чисел: \(m = \frac{4 + 6}{2} = 5\). Это соглашение, а не определение.

Ответ: Медиана конечного числового массива — это такое число \(m\), что хотя бы половина чисел массива не больше числа \(m\) и хотя бы половина чисел массива не меньше числа \(m\).

В определении медианы стоят нестрогие неравенства и слова «хотя бы», а не «ровно». Мешают этому две причины.

Первая причина — нечётное количество чисел. Тогда серединное число вариационного ряда само равно медиане, а значит, оно не меньше и не больше её и ни в одну из «половин» не попадает. Возьмём массив \(1;\ 4;\ 6\). Его медиана равна 4. Меньше медианы здесь одно число, больше медианы — тоже одно, а всего чисел три. Половина от трёх — это полтора числа, и ни меньших, ни больших чисел ровно половины быть не может.

Вторая причина — значение медианы может повторяться в массиве. Возьмём массив \(2;\ 5;\ 5;\ 5;\ 9\). Его медиана равна 5. Меньше медианы здесь только одно число из пяти и больше медианы только одно число из пяти, а три числа равны медиане. Ровно половины — двух с половиной чисел — нет ни слева, ни справа.

Ответ: Потому что числа, равные медиане, не попадают ни в одну из двух частей: у массива \(1;\ 4;\ 6\) с медианой 4 меньше медианы одно число из трёх и больше медианы одно число из трёх, а у массива \(2;\ 5;\ 5;\ 5;\ 9\) с медианой 5 меньше медианы одно число из пяти и больше медианы одно число из пяти.

Среднее арифметическое и медиана плохо описывают данные в двух случаях.

Первый случай — данные имеют возрастающую или убывающую тенденцию, то есть меняются со временем в одну сторону. Пусть численность населения посёлка по годам такова: 2016 г. — \(5{,}2\); 2017 г. — \(5{,}6\); 2018 г. — \(6{,}1\); 2019 г. — \(6{,}7\); 2020 г. — \(7{,}2\); 2021 г. — \(7{,}8\) тыс. чел. Среднее арифметическое равно \(\frac{5{,}2 + 5{,}6 + 6{,}1 + 6{,}7 + 7{,}2 + 7{,}8}{6} = \frac{38{,}6}{6} \approx 6{,}4\) тыс. чел., медиана — полусумма двух серединных значений \(\frac{6{,}1 + 6{,}7}{2} = 6{,}4\) тыс. чел. Но население посёлка каждый год росло и к 2021 году составило \(7{,}8\) тыс. чел., то есть уже больше обоих найденных показателей. Значит, ни среднее, ни медиана не годятся как ориентир ни сейчас, ни на будущее.

Второй случай — несуммируемые данные, то есть числа, которые служат только названиями и складывать которые бессмысленно. Пусть через остановку проходят автобусы маршрутов 3, 8, 15, 27, 44. Среднее арифметическое этих номеров равно \(\frac{3 + 8 + 15 + 27 + 44}{5} = \frac{97}{5} = 19{,}4\), медиана равна 15. Оба числа получены формально: маршрута «\(19{,}4\)» не существует, а маршрут 15 ничем не «серединный» — номера маршрутов не измеряют никакой величины.

Ответ: Среднее арифметическое и медиана неудачны для данных с возрастающей или убывающей тенденцией (численность посёлка, которая растёт каждый год) и для несуммируемых данных (номера автобусных маршрутов).