Страница 49 номер 75, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
На рисунке 38 изображён граф многогранника. Нарисуйте изоморфный ему плоский граф.
Вершины на рисунке буквами не обозначены, поэтому обозначим их сами.
а) Граф тетраэдра: четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), попарно соединённые рёбрами \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(CD\), — всего 6 рёбер.
б) Граф треугольной призмы: шесть вершин — треугольник \(ABC\) (рёбра \(AB\), \(BC\), \(CA\)), треугольник \(DEF\) (рёбра \(DE\), \(EF\), \(FD\)) и соединяющие рёбра \(AD\), \(BE\), \(CF\), всего 9 рёбер.
в) Граф куба: восемь вершин — грань \(ABCD\) (рёбра \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\)), противоположная грань \(KLMN\) (рёбра \(KL\), \(LM\), \(MN\), \(NK\)) и соединяющие рёбра \(AK\), \(BL\), \(CM\), \(DN\), всего 12 рёбер.
Расставим те же вершины по-другому, а рёбра проведём теми же парами: соответствие вершин тогда тождественное и графы изоморфны. Остаётся добиться, чтобы рёбра не пересекались во внутренних точках.
а) Возьмём \(A\), \(B\), \(C\) вершинами треугольника, а \(D\) — точкой внутри него: рёбра \(DA\), \(DB\), \(DC\) идут из внутренней точки к вершинам и пересекаются только в самой вершине \(D\).
б) Треугольник \(DEF\) поместим внутри треугольника \(ABC\) так, чтобы вершина \(D\) оказалась против \(A\), \(E\) — против \(B\), \(F\) — против \(C\): соединяющие рёбра \(AD\), \(BE\), \(CF\) расходятся в разные стороны и не пересекают ни друг друга, ни стороны треугольников.
в) Точно так же квадрат \(KLMN\) поместим внутрь квадрата \(ABCD\): вершина \(K\) — против \(A\), \(L\) — против \(B\), \(M\) — против \(C\), \(N\) — против \(D\); рёбра \(AK\), \(BL\), \(CM\), \(DN\) идут по «углам» и не пересекаются.
Ответ: а) треугольник \(ABC\) и вершина \(D\) внутри него, соединённая с \(A\), \(B\), \(C\); б) треугольник \(DEF\) внутри треугольника \(ABC\) и рёбра \(AD\), \(BE\), \(CF\); в) квадрат \(KLMN\) внутри квадрата \(ABCD\) и рёбра \(AK\), \(BL\), \(CM\), \(DN\) — все три графа плоские и изоморфны исходным.
На рисунке 38 изображён граф многогранника. Нарисуйте изоморфный ему плоский граф.
Вершины на рисунке буквами не обозначены, поэтому обозначим их сами.
а) У графа тетраэдра четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), попарно соединённые рёбрами: \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(CD\) — всего 6 рёбер.
б) У графа треугольной призмы шесть вершин: \(A\), \(B\), \(C\) — вершины одного треугольника (рёбра \(AB\), \(BC\), \(CA\)), \(D\), \(E\), \(F\) — вершины другого (рёбра \(DE\), \(EF\), \(FD\)); кроме того, проведены три соединяющих ребра \(AD\), \(BE\), \(CF\) — всего 9 рёбер.
в) У графа куба восемь вершин: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины одной грани (рёбра \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\)), \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) — вершины противоположной грани (рёбра \(KL\), \(LM\), \(MN\), \(NK\)); соединяющие рёбра — \(AK\), \(BL\), \(CM\), \(DN\), всего 12 рёбер.
Изоморфный плоский граф получается, если те же вершины расставить по-другому, а рёбра провести теми же парами: соответствие вершин тогда тождественное, списки рёбер совпадают, и оба условия изоморфизма выполнены сами собой. Остаётся добиться, чтобы рёбра не пересекались во внутренних точках.
а) Возьмём \(A\), \(B\), \(C\) вершинами треугольника, а \(D\) — точкой внутри него. Стороны треугольника дают рёбра \(AB\), \(BC\), \(CA\), а рёбра \(DA\), \(DB\), \(DC\) идут из внутренней точки к вершинам и пересекаются только в самой вершине \(D\).
б) Возьмём треугольник \(ABC\), а треугольник \(DEF\) поместим внутри него так, чтобы вершина \(D\) оказалась против \(A\), \(E\) — против \(B\), \(F\) — против \(C\). Тогда соединяющие рёбра \(AD\), \(BE\), \(CF\) идут от вершин внешнего треугольника к вершинам внутреннего, расходясь в разные стороны, и ни друг друга, ни стороны треугольников не пересекают.
в) Точно так же поместим квадрат \(KLMN\) внутрь квадрата \(ABCD\): вершина \(K\) — против \(A\), \(L\) — против \(B\), \(M\) — против \(C\), \(N\) — против \(D\). Соединяющие рёбра \(AK\), \(BL\), \(CM\), \(DN\) идут по «углам» и не пересекаются.
Ответ: а) треугольник \(ABC\) и вершина \(D\) внутри него, соединённая с \(A\), \(B\), \(C\); б) треугольник \(DEF\) внутри треугольника \(ABC\) и рёбра \(AD\), \(BE\), \(CF\); в) квадрат \(KLMN\) внутри квадрата \(ABCD\) и рёбра \(AK\), \(BL\), \(CM\), \(DN\) — все три графа плоские и изоморфны исходным.
