Страница 49 номер 76, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Для каждого из графов, изображённых на рисунке 38, определите, на сколько областей разбивает плоскость изоморфный ему плоский граф. Верно ли, что число областей равно числу граней многогранника?
Вершины на рисунке буквами не обозначены, поэтому обозначим их сами.
а) Граф тетраэдра: четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и 6 рёбер \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(CD\).
б) Граф треугольной призмы: треугольник \(ABC\) (рёбра \(AB\), \(BC\), \(CA\)), треугольник \(DEF\) (рёбра \(DE\), \(EF\), \(FD\)) и соединяющие рёбра \(AD\), \(BE\), \(CF\) — всего 9 рёбер.
в) Граф куба: квадрат \(ABCD\) (рёбра \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\)), квадрат \(KLMN\) (рёбра \(KL\), \(LM\), \(MN\), \(NK\)) и соединяющие рёбра \(AK\), \(BL\), \(CM\), \(DN\) — всего 12 рёбер.
Число областей считаем по изоморфному плоскому графу: те же вершины расставлены по-другому, а рёбра проведены теми же парами.
а) Вершины \(A\), \(B\), \(C\) — вершины треугольника, \(D\) — точка внутри него, рёбра \(DA\), \(DB\), \(DC\) идут внутрь и разбивают внутренность треугольника на три конечные области \(ABD\), \(BCD\), \(CAD\). С внешней областью получается 4 области, а у тетраэдра 4 грани.
б) Треугольник \(DEF\) лежит внутри треугольника \(ABC\), соединяющие рёбра \(AD\), \(BE\), \(CF\) не пересекаются. Конечных областей четыре: внутренность треугольника \(DEF\) и три четырёхугольника \(ABED\), \(BCFE\), \(CADF\). С внешней областью получается 5 областей, а у треугольной призмы 5 граней: два треугольника и три прямоугольника.
в) Квадрат \(KLMN\) лежит внутри квадрата \(ABCD\), соединяющие рёбра \(AK\), \(BL\), \(CM\), \(DN\) не пересекаются. Конечных областей пять: внутренность квадрата \(KLMN\) и четыре четырёхугольника \(ABLK\), \(BCML\), \(CDNM\), \(DAKN\). С внешней областью получается 6 областей, а у куба 6 граней.
Совпадение не случайно: каркас многогранника можно перенести на сферу, и каждая его грань перейдёт в одну из областей, на которые линии разбивают сферу. Всякий плоский граф тоже изображается на сфере, причём бесконечная внешняя область становится там обычной областью, а число областей не меняется. Поэтому у плоского графа областей столько же, сколько у многогранника граней.
Ответ: а) 4 области; б) 5 областей; в) 6 областей; да, число областей равно числу граней многогранника — 4 грани у тетраэдра, 5 у треугольной призмы, 6 у куба.
Для каждого из графов, изображённых на рисунке 38, определите, на сколько областей разбивает плоскость изоморфный ему плоский граф. Верно ли, что число областей равно числу граней многогранника?
Вершины на рисунке буквами не обозначены, поэтому обозначим их сами.
а) Граф тетраэдра: четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и 6 рёбер \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(CD\).
б) Граф треугольной призмы: треугольник \(ABC\) (рёбра \(AB\), \(BC\), \(CA\)), треугольник \(DEF\) (рёбра \(DE\), \(EF\), \(FD\)) и соединяющие рёбра \(AD\), \(BE\), \(CF\) — всего 9 рёбер.
в) Граф куба: квадрат \(ABCD\) (рёбра \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\)), квадрат \(KLMN\) (рёбра \(KL\), \(LM\), \(MN\), \(NK\)) и соединяющие рёбра \(AK\), \(BL\), \(CM\), \(DN\) — всего 12 рёбер.
Число областей считают по плоскому графу, изоморфному данному. Расставим те же вершины по-другому, а рёбра проведём теми же парами — тогда соответствие вершин тождественное и графы изоморфны.
а) Вершины \(A\), \(B\), \(C\) — вершины треугольника, \(D\) — точка внутри него, рёбра \(DA\), \(DB\), \(DC\) идут внутрь. Внутренность треугольника разбита на три конечные области: \(ABD\), \(BCD\), \(CAD\). С внешней областью получается 4 области. У тетраэдра 4 грани.
б) Треугольник \(DEF\) лежит внутри треугольника \(ABC\), рёбра \(AD\), \(BE\), \(CF\) соединяют их вершины и не пересекаются. Конечных областей четыре: внутренность треугольника \(DEF\) и три четырёхугольника \(ABED\), \(BCFE\), \(CADF\). С внешней областью получается 5 областей. У треугольной призмы 5 граней: два треугольника и три прямоугольника.
в) Квадрат \(KLMN\) лежит внутри квадрата \(ABCD\), рёбра \(AK\), \(BL\), \(CM\), \(DN\) соединяют их вершины. Конечных областей пять: внутренность квадрата \(KLMN\) и четыре четырёхугольника \(ABLK\), \(BCML\), \(CDNM\), \(DAKN\). С внешней областью получается 6 областей. У куба 6 граней.
Во всех трёх случаях число областей совпало с числом граней многогранника. Это не случайность. Каркас многогранника можно перенести на сферу: вершины перейдут в точки сферы, рёбра — в линии на ней, а каждая грань — в одну из областей, на которые эти линии разбивают сферу. Всякий плоский граф тоже изображается на сфере, и бесконечная внешняя область плоскости становится там обычной областью, ничем не отличающейся от остальных, — число областей при этом не меняется. Поэтому у плоского графа областей столько же, сколько у многогранника граней.
Ответ: а) 4 области; б) 5 областей; в) 6 областей; да, число областей равно числу граней многогранника — 4 грани у тетраэдра, 5 у треугольной призмы, 6 у куба.
