Страница 49 номер 74, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Приведите пример связного плоского графа с четырьмя вершинами, который разбивает плоскость: а) на 3 области; б) на 4 области.
а) Четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) по вершинам квадрата (\(A\) — слева вверху, \(B\) — справа вверху, \(C\) — справа внизу, \(D\) — слева внизу), рёбра — стороны \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) и диагональ \(AC\), всего 5 рёбер. Граф связный, а плоский он потому, что вторая диагональ не проведена и никакие два ребра не пересекаются во внутренних точках.
Диагональ \(AC\) делит внутренность квадрата на треугольники \(ABC\) и \(ACD\) — это две конечные области; третья область — бесконечная внешняя часть плоскости. Всего 3 области.
б) Треугольник \(ABC\) и точка \(D\) внутри него, рёбра \(AB\), \(BC\), \(CA\), \(DA\), \(DB\), \(DC\), всего 6 рёбер. Граф связный и плоский: рёбра \(DA\), \(DB\), \(DC\) лежат внутри треугольника и попарно пересекаются только в вершине \(D\).
Эти три ребра разбивают внутренность треугольника на части \(ABD\), \(BCD\), \(CAD\); вместе с бесконечной внешней областью получается 4 области.
Ответ: а) квадрат \(ABCD\) с диагональю \(AC\) — 5 рёбер, две конечные области \(ABC\) и \(ACD\) и внешняя область, всего 3; б) треугольник \(ABC\) и вершина \(D\) внутри него, соединённая рёбрами с \(A\), \(B\), \(C\), — 6 рёбер, три конечные области \(ABD\), \(BCD\), \(CAD\) и внешняя область, всего 4.
Приведите пример связного плоского графа с четырьмя вершинами, который разбивает плоскость: а) на 3 области; б) на 4 области.
а) Возьмём четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и расставим их по вершинам квадрата: \(A\) — слева вверху, \(B\) — справа вверху, \(C\) — справа внизу, \(D\) — слева внизу. Проведём стороны \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) и диагональ \(AC\) — всего 5 рёбер.
Граф связный: от любой вершины до любой другой можно пройти по рёбрам. Он плоский: никакие два ребра не пересекаются во внутренних точках, ведь вторая диагональ не проведена.
Диагональ \(AC\) делит внутренность квадрата на два треугольника: \(ABC\) и \(ACD\). Это две конечные области. Третья область — бесконечная внешняя часть плоскости. Всего 3 области.
б) Возьмём треугольник \(ABC\) и точку \(D\) внутри него. Проведём рёбра \(AB\), \(BC\), \(CA\), \(DA\), \(DB\), \(DC\) — всего 6 рёбер.
Граф связный и плоский: рёбра \(DA\), \(DB\), \(DC\) лежат внутри треугольника и попарно пересекаются только в вершине \(D\).
Эти три ребра разбивают внутренность треугольника на три части: \(ABD\), \(BCD\), \(CAD\). Вместе с бесконечной внешней областью получается 4 области.
Ответ: а) квадрат \(ABCD\) с диагональю \(AC\) — 5 рёбер, две конечные области \(ABC\) и \(ACD\) и внешняя область, всего 3; б) треугольник \(ABC\) и вершина \(D\) внутри него, соединённая рёбрами с \(A\), \(B\), \(C\), — 6 рёбер, три конечные области \(ABD\), \(BCD\), \(CAD\) и внешняя область, всего 4.
