Страница 38 номер 58, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Равенство \(Q_y = aQ_x + b\) выполняется не всегда — достаточно одного набора, на котором оно нарушается.
Возьмём \(x = \{1,\ 2\}\) и преобразование \(y = x + 1\), то есть \(a = 1\) и \(b = 1\); тогда \(y = \{2,\ 3\}\) и \[Q_x = \sqrt{\frac{1^2 + 2^2}{2}} = \sqrt{2{,}5}, \qquad Q_y = \sqrt{\frac{2^2 + 3^2}{2}} = \sqrt{6{,}5}.\]
Проверяемое равенство принимает вид \(\sqrt{6{,}5} = \sqrt{2{,}5} + 1\). Обе его части положительны, поэтому возведём его в квадрат: \(6{,}5 = 2{,}5 + 2\sqrt{2{,}5} + 1\), откуда \(2\sqrt{2{,}5} = 3\) и \(\sqrt{2{,}5} = 1{,}5\). Но \(1{,}5^2 = 2{,}25\), а не \(2{,}5\), значит, равенство неверно; с округлением до сотых \(Q_y \approx 2{,}55\), а \(aQ_x + b \approx 2{,}58\).
Множитель же преобразует среднее квадратичное по простому правилу: при \(y = ax\) общий множитель выносится из-под корня, и \[Q_y = \sqrt{\frac{(ax_1)^2 + (ax_2)^2 + \ldots + (ax_n)^2}{n}} = |a| \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}} = |a| Q_x.\]
А сдвиг переносит на \(b\) только среднее арифметическое: под корнем в среднем квадратичном стоят квадраты самих чисел набора, а не их отклонений от среднего.
Ответ: нет, неверно: для набора \(x = \{1,\ 2\}\) и набора \(y = x + 1 = \{2,\ 3\}\) получается \(Q_y = \sqrt{6{,}5} \approx 2{,}55\), а \(aQ_x + b = \sqrt{2{,}5} + 1 \approx 2{,}58\).
Равенство \(Q_y = aQ_x + b\) выполняется не всегда, и достаточно указать один набор, на котором оно нарушается.
Возьмём набор \(x = \{1,\ 2\}\) и преобразование \(y = x + 1\), то есть \(a = 1\) и \(b = 1\). Тогда \(y = \{2,\ 3\}\), и средние квадратичные этих наборов равны \[Q_x = \sqrt{\frac{1^2 + 2^2}{2}} = \sqrt{2{,}5}, \qquad Q_y = \sqrt{\frac{2^2 + 3^2}{2}} = \sqrt{6{,}5}.\]
Проверяемое равенство принимает вид \(\sqrt{6{,}5} = \sqrt{2{,}5} + 1\). Обе его части положительны, поэтому его можно возвести в квадрат: тогда \(6{,}5 = 2{,}5 + 2\sqrt{2{,}5} + 1\), откуда \(2\sqrt{2{,}5} = 3\) и \(\sqrt{2{,}5} = 1{,}5\). Но \(1{,}5^2 = 2{,}25\), а не \(2{,}5\), значит, равенство неверно. С округлением до сотых \(Q_y \approx 2{,}55\), тогда как \(aQ_x + b \approx 2{,}58\).
Множитель же преобразует среднее квадратичное по простому правилу: при \(b = 0\), то есть при \(y = ax\), общий множитель выносится из-под корня, и \[Q_y = \sqrt{\frac{(ax_1)^2 + (ax_2)^2 + \ldots + (ax_n)^2}{n}} = |a| \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}} = |a| Q_x.\]
А сдвиг переносит на \(b\) только среднее арифметическое: под корнем в среднем квадратичном стоят квадраты самих чисел набора, а не их отклонений от среднего, и прибавление \(b\) к каждому числу набора не сводится к прибавлению \(b\) к корню.
Ответ: нет, неверно: для набора \(x = \{1,\ 2\}\) и набора \(y = x + 1 = \{2,\ 3\}\) получается \(Q_y = \sqrt{6{,}5} \approx 2{,}55\), а \(aQ_x + b = \sqrt{2{,}5} + 1 \approx 2{,}58\).
