Страница 38 номер 59, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Обозначим через \(x\) массив значений MPG выставленных на продажу автомобилей; известно, что \(\bar{x} = 25{,}4\) и \(S_x = 8{,}9\).
а) Автомобиль, проезжающий одну милю на одном галлоне, проезжает \(1{,}609\) км на \(4{,}55\) л, то есть \(\frac{1{,}609}{4{,}55} \approx 0{,}3536\) км на одном литре, поэтому средний пробег на 1 л получается из величины MPG умножением на \(a = \frac{1{,}609}{4{,}55}\).
При умножении всех чисел массива на \(a\) среднее умножается на \(a\), стандартное отклонение — на \(|a|\), а дисперсия — на \(a^2\), поэтому известных данных достаточно (км/л): \[\begin{aligned} &\bar{y} = a\bar{x} \approx 0{,}3536 \cdot 25{,}4 \approx 8{,}98, \\ &S_y = |a| S_x \approx 0{,}3536 \cdot 8{,}9 \approx 3{,}15, \\ &S_y^2 = a^2 S_x^2 \approx 0{,}1250 \cdot 79{,}21 \approx 9{,}9. \end{aligned}\]
Единицы дисперсии при этом обычно не указывают.
б) Расход топлива на 100 км — величина, обратная пробегу на литре: если автомобиль проезжает на литре \(y_j\) км, то на 100 км он расходует \(\frac{100}{y_j}\) л. Преобразование не линейное, поэтому свойства среднего и дисперсии при линейном преобразовании здесь не работают.
Средний расход выражается через среднее гармоническое \(H_y = \dfrac{n}{\frac{1}{y_1} + \ldots + \frac{1}{y_n}}\) массива \(y\): \[\frac{1}{n}\left(\frac{100}{y_1} + \ldots + \frac{100}{y_n}\right) = \frac{100}{n}\left(\frac{1}{y_1} + \ldots + \frac{1}{y_n}\right) = \frac{100}{H_y}.\]
Среднее же гармоническое по среднему арифметическому и стандартному отклонению не восстанавливается. Возьмём два массива пробега: \[u = \{6,\ 6,\ 12,\ 12\} \quad \text{и} \quad v = \{3,\ 9,\ 9,\ 9,\ 12,\ 12\}.\]
Среднее арифметическое и стандартное отклонение у них одинаковы: \[\begin{aligned} &\bar{u} = \frac{36}{4} = 9, \quad S_u^2 = \frac{9 + 9 + 9 + 9}{4} = 9, \quad S_u = 3; \\ &\bar{v} = \frac{54}{6} = 9, \quad S_v^2 = \frac{36 + 0 + 0 + 0 + 9 + 9}{6} = 9, \quad S_v = 3. \end{aligned}\]
Средние гармонические у них разные: \[H_u = \frac{4}{\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8, \qquad H_v = \frac{6}{\frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{1}{12}} = \frac{6}{\frac{5}{6}} = 7{,}2.\]
Значит, разный у них и средний расход: \(\frac{100}{8} = 12{,}5\) л на 100 км у первого массива и \(\frac{100}{7{,}2} \approx 13{,}9\) л у второго; дисперсия расхода тоже разная — \(\frac{625}{36} \approx 17{,}4\) и \(\frac{6250}{81} \approx 77{,}2\). Поэтому по одним лишь \(\bar{x}\) и \(S_x\) ни ту, ни другую величину найти невозможно.
Ответ: а) данных достаточно: средний пробег равен примерно \(8{,}98\) км/л, дисперсия пробега — примерно \(9{,}9\) (стандартное отклонение — примерно \(3{,}15\) км/л); б) данных недостаточно: расход на 100 км обратно пропорционален пробегу на литре, преобразование не линейное, а средний расход выражается через среднее гармоническое, которое по среднему арифметическому и стандартному отклонению не определяется.
Обозначим через \(x\) массив значений MPG выставленных на продажу автомобилей; известно, что \(\bar{x} = 25{,}4\) и \(S_x = 8{,}9\).
а) Автомобиль, проезжающий одну милю на одном галлоне топлива, проезжает \(1{,}609\) км на \(4{,}55\) л, то есть \(\frac{1{,}609}{4{,}55} \approx 0{,}3536\) км на одном литре. Значит, средний пробег на 1 л получается из величины MPG умножением на одно и то же число \(a = \frac{1{,}609}{4{,}55}\).
Это линейное преобразование \(y = ax\), а при умножении всех чисел массива на \(a\) среднее умножается на \(a\), стандартное отклонение — на \(|a|\), а дисперсия — на \(a^2\). Поэтому известных данных достаточно: \[\begin{aligned} &\bar{y} = a\bar{x} \approx 0{,}3536 \cdot 25{,}4 \approx 8{,}98, \\ &S_y = |a| S_x \approx 0{,}3536 \cdot 8{,}9 \approx 3{,}15, \\ &S_y^2 = a^2 S_x^2 \approx 0{,}1250 \cdot 79{,}21 \approx 9{,}9. \end{aligned}\]
Средний пробег равен примерно \(8{,}98\) км/л, а стандартное отклонение — примерно \(3{,}15\) км/л; единицы дисперсии (квадратные километры на квадратный литр) обычно не указывают.
б) Расход топлива на 100 км — величина, обратная пробегу на литре: если автомобиль проезжает на литре \(y_j\) км, то на 100 км он расходует \(\frac{100}{y_j}\) л. Такое преобразование не линейное, поэтому свойства среднего и дисперсии при линейном преобразовании здесь не работают.
Средним гармоническим массива \(y\) называется число \(H_y = \dfrac{n}{\frac{1}{y_1} + \ldots + \frac{1}{y_n}}\), и средний расход выражается как раз через него: \[\frac{1}{n}\left(\frac{100}{y_1} + \ldots + \frac{100}{y_n}\right) = \frac{100}{n}\left(\frac{1}{y_1} + \ldots + \frac{1}{y_n}\right) = \frac{100}{H_y}.\]
Среднее же гармоническое по среднему арифметическому и стандартному отклонению не восстанавливается. Возьмём для примера два массива пробега (км/л): \[u = \{6,\ 6,\ 12,\ 12\} \quad \text{и} \quad v = \{3,\ 9,\ 9,\ 9,\ 12,\ 12\}.\]
Среднее арифметическое и стандартное отклонение у них одинаковы: \[\begin{aligned} &\bar{u} = \frac{36}{4} = 9, \quad S_u^2 = \frac{9 + 9 + 9 + 9}{4} = 9, \quad S_u = 3; \\ &\bar{v} = \frac{54}{6} = 9, \quad S_v^2 = \frac{36 + 0 + 0 + 0 + 9 + 9}{6} = 9, \quad S_v = 3. \end{aligned}\]
Средние гармонические у них разные: \[H_u = \frac{4}{\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8, \qquad H_v = \frac{6}{\frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{1}{12}} = \frac{6}{\frac{5}{6}} = 7{,}2.\]
Значит, и средний расход у этих массивов разный: \(\frac{100}{8} = 12{,}5\) л на 100 км в первом случае и \(\frac{100}{7{,}2} \approx 13{,}9\) л на 100 км во втором. Дисперсия расхода у них тоже разная: \(\frac{625}{36} \approx 17{,}4\) у первого массива и \(\frac{6250}{81} \approx 77{,}2\) у второго. Два массива с одинаковыми средним арифметическим и стандартным отклонением дают и разный средний расход, и разную его дисперсию, поэтому по одним лишь \(\bar{x}\) и \(S_x\) ни ту, ни другую величину найти невозможно.
Ответ: а) данных достаточно: средний пробег равен примерно \(8{,}98\) км/л, дисперсия пробега — примерно \(9{,}9\) (стандартное отклонение — примерно \(3{,}15\) км/л); б) данных недостаточно: расход на 100 км обратно пропорционален пробегу на литре, преобразование не линейное, а средний расход выражается через среднее гармоническое, которое по среднему арифметическому и стандартному отклонению не определяется.
