Страница 38 номер 57, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Точных длительностей мы не знаем; середины интервалов равны 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15 мин, а их частоты — \(0{,}716\); \(0{,}145\); \(0{,}075\); \(0{,}031\); \(0{,}013\); \(0{,}013\); \(0{,}005\); \(0{,}003\).
Обозначим через \(t\) среднюю продолжительность разговора в минутах. Оценку для \(t\) даёт замена каждого разговора серединой своего интервала; сложим произведения середин на частоты слева направо: \[\begin{aligned} &1 \cdot 0{,}716 + 3 \cdot 0{,}145 + 5 \cdot 0{,}075 + 7 \cdot 0{,}031 = 1{,}743, \\ &1{,}743 + 9 \cdot 0{,}013 + 11 \cdot 0{,}013 + 13 \cdot 0{,}005 + 15 \cdot 0{,}003 = 2{,}113. \end{aligned}\]
При такой замене каждое значение меняется не больше чем на половину длины интервала, то есть не больше чем на 1 мин. Разность истинного среднего и оценки \(2{,}113\) равна среднему арифметическому этих изменений, поэтому и она по модулю не превосходит 1: \[2{,}113 - 1 \leqslant t \leqslant 2{,}113 + 1, \quad \text{то есть} \quad 1{,}113 \leqslant t \leqslant 3{,}113.\]
После округления границ до десятых получается промежуток \(1{,}1 \leqslant t \leqslant 3{,}1\) протяжённостью ровно 2 мин.
Ответ: \(1{,}1 \leqslant t \leqslant 3{,}1\), где \(t\) — средняя продолжительность разговора в минутах.
Данные о длительности разговоров сгруппированы в интервалы по 2 мин, поэтому точных длительностей мы не знаем. Середины интервалов равны 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15 мин, а их частоты — \(0{,}716\); \(0{,}145\); \(0{,}075\); \(0{,}031\); \(0{,}013\); \(0{,}013\); \(0{,}005\); \(0{,}003\).
Обозначим через \(t\) среднюю продолжительность разговора в минутах. Оценку для \(t\) даёт замена каждого разговора серединой того интервала, в который он попал. Сложим произведения середин на частоты слева направо: \[\begin{aligned} &1 \cdot 0{,}716 + 3 \cdot 0{,}145 + 5 \cdot 0{,}075 + 7 \cdot 0{,}031 = 1{,}743, \\ &1{,}743 + 9 \cdot 0{,}013 + 11 \cdot 0{,}013 + 13 \cdot 0{,}005 + 15 \cdot 0{,}003 = 2{,}113. \end{aligned}\]
Оценка средней продолжительности разговора равна \(2{,}113\) мин.
При такой замене каждое значение меняется не больше чем на половину длины интервала, то есть не больше чем на 1 мин. Разность истинного среднего и полученной оценки равна среднему арифметическому этих изменений, а каждое из них по модулю не превосходит 1, поэтому и вся разность по модулю не превосходит 1: \[2{,}113 - 1 \leqslant t \leqslant 2{,}113 + 1, \quad \text{то есть} \quad 1{,}113 \leqslant t \leqslant 3{,}113.\]
После округления границ до десятых получается промежуток \(1{,}1 \leqslant t \leqslant 3{,}1\) протяжённостью ровно 2 мин, как и требуется в условии.
Ответ: \(1{,}1 \leqslant t \leqslant 3{,}1\), где \(t\) — средняя продолжительность разговора в минутах.
