Страница 230 номер 470, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
На рисунке 160 показан график плотности распределения случайной величины \(X\). Найдите \(\mathrm{E}X\).
Если график плотности симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через точку \(c\) оси абсцисс, то \(\mathrm{E}X = c\).
а) Плотность равна \(0{,}2\) на отрезке \([-2;\ 3]\) и нулю вне его, площадь под графиком \(5 \cdot 0{,}2 = 1\). График — прямоугольник, симметричный относительно вертикальной прямой через середину отрезка \([-2;\ 3]\), а эта середина равна \(\frac{-2 + 3}{2} = 0{,}5\), поэтому \(\mathrm{E}X = 0{,}5\).
б) График — равнобедренный треугольник с основанием \([-4;\ 6]\) длины 10 и вершиной в точке \((1;\ 0{,}2)\), площадь под графиком \(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0{,}2 = 1\). Вершина стоит над серединой основания, а середина отрезка \([-4;\ 6]\) равна \(\frac{-4 + 6}{2} = 1\), поэтому \(\mathrm{E}X = 1\).
в) Плотность равна нулю левее точки \(-3\) и правее точки 6, а между ними её график — отрезок прямой, поднимающийся из точки \((-3;\ 0)\); в точке \(x = 6\) значение скачком падает до нуля. Фигура под графиком — прямоугольный треугольник с основанием \(6 - (-3) = 9\), его площадь равна 1, поэтому высота \(h\) в точке \(x = 6\) находится из равенства \(\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot h = 1\), откуда \[h = \frac{2}{9}.\]
Симметрии у этого графика нет, и середина основания математическим ожиданием не будет. Но \(\mathrm{E}X\) — проекция центра масс фигуры под графиком на горизонтальную ось, а горизонтальная координата центра треугольника равна среднему абсцисс трёх его вершин \((-3;\ 0)\), \((6;\ 0)\) и \(\left(6;\ \frac{2}{9}\right)\): \[\mathrm{E}X = \frac{-3 + 6 + 6}{3} = \frac{9}{3} = 3.\]
Ответ: а) \(\mathrm{E}X = 0{,}5\); б) \(\mathrm{E}X = 1\); в) \(\mathrm{E}X = 3\).
На рисунке 160 показан график плотности распределения случайной величины \(X\). Найдите \(\mathrm{E}X\).
Математическое ожидание непрерывной случайной величины находят, пользуясь симметрией функции плотности: если график плотности симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через точку \(c\) оси абсцисс, то \(\mathrm{E}X = c\).
а) Плотность равна \(0{,}2\) на отрезке \([-2;\ 3]\) и нулю вне его; площадь под графиком равна \(5 \cdot 0{,}2 = 1\), как и положено. График — прямоугольник, и он симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через середину отрезка \([-2;\ 3]\). Середина этого отрезка равна \(\frac{-2 + 3}{2} = 0{,}5\), поэтому \(\mathrm{E}X = 0{,}5\).
б) График — равнобедренный треугольник с основанием \([-4;\ 6]\) длины 10 и вершиной в точке \((1;\ 0{,}2)\); площадь под графиком равна \(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0{,}2 = 1\). Вершина стоит над серединой основания, а середина отрезка \([-4;\ 6]\) равна \(\frac{-4 + 6}{2} = 1\). Значит, график симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через точку 1 оси абсцисс, и \(\mathrm{E}X = 1\).
в) Плотность равна нулю левее точки \(-3\) и правее точки 6, а между ними её график — отрезок прямой, поднимающийся из точки \((-3;\ 0)\); в точке \(x = 6\) значение скачком падает до нуля. Фигура под графиком — прямоугольный треугольник с основанием \(6 - (-3) = 9\). Его площадь равна 1, поэтому высота \(h\) в точке \(x = 6\) находится из равенства \(\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot h = 1\), откуда \[h = \frac{2}{9}.\]
Симметрии у этого графика нет, и середина основания математическим ожиданием не будет. Но математическое ожидание имеет наглядный смысл: если вообразить фигуру под графиком плотности вырезанной из листа, то проекция её центра масс на горизонтальную ось и есть \(\mathrm{E}X\). Центр масс треугольника — его центр, а горизонтальная координата центра треугольника равна среднему абсцисс трёх вершин. Вершины здесь — \((-3;\ 0)\), \((6;\ 0)\) и \(\left(6;\ \frac{2}{9}\right)\), поэтому \[\mathrm{E}X = \frac{-3 + 6 + 6}{3} = \frac{9}{3} = 3.\]
Ответ: а) \(\mathrm{E}X = 0{,}5\); б) \(\mathrm{E}X = 1\); в) \(\mathrm{E}X = 3\).
