Страница 230 номер 468, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Про непрерывную случайную величину \(X\) известно: \(\mathrm{P}(X < b) = 0\) для всех \(b < 0\); \(\mathrm{P}(X < b) = b^2\) для всех \(b\) из отрезка \([0;\ 1]\); \(\mathrm{P}(X < b) = 1\) для всех \(b > 1\).
Значений меньше нуля и значений больше единицы величина не принимает, значит, все её значения лежат на отрезке \([0;\ 1]\), а вне этого отрезка плотность равна нулю.
Вероятность промежутка равна площади фигуры под графиком плотности над ним, поэтому площадь над отрезком \([0;\ b]\) обязана равняться \(b^2\) при каждом \(b\) из отрезка \([0;\ 1]\).
У постоянной плотности площадь над отрезком \([0;\ b]\) росла бы пропорционально \(b\) — не подходит. Площадь же треугольника с вершиной в начале координат растёт пропорционально \(b^2\): при увеличении \(b\) вдвое вдвое растут и основание, и высота. Поэтому ищем плотность в виде \(f(x) = kx\) при \(0 \leqslant x \leqslant 1\), где \(k > 0\).
Над отрезком \([0;\ b]\) такой график даёт треугольник с основанием \(b\) и высотой \(kb\) площади \(\frac{1}{2} \cdot b \cdot kb = \frac{k}{2}b^2\), а равенство \(\frac{k}{2}b^2 = b^2\) верно при каждом \(b\) тогда и только тогда, когда \(\frac{k}{2} = 1\), то есть \(k = 2\).
Проверка: функция \(f(x) = 2x\) на отрезке \([0;\ 1]\) неотрицательна, вне отрезка равна нулю; фигура под её графиком — треугольник с основанием 1 и высотой 2 площади \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\); над отрезком \([0;\ b]\) площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot b \cdot 2b = b^2\) при каждом \(b\) из отрезка \([0;\ 1]\), и все три данные вероятности получаются верными.
Значит, плотность распределения такова: \[f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x < 0 \text{ или } x > 1,\\ 2x, \text{ если } 0 \leqslant x \leqslant 1. \end{cases}\]
Ответ: \(f(x) = 2x\) при \(0 \leqslant x \leqslant 1\) и \(f(x) = 0\) вне отрезка \([0;\ 1]\).
Про непрерывную случайную величину \(X\) известны три вероятности: \(\mathrm{P}(X < b) = 0\) для всех \(b < 0\); \(\mathrm{P}(X < b) = b^2\) для всех \(b\) из отрезка \([0;\ 1]\); \(\mathrm{P}(X < b) = 1\) для всех \(b > 1\).
Первое равенство говорит, что значений меньше нуля величина не принимает, третье — что не принимает и значений больше единицы. Значит, все её значения лежат на отрезке \([0;\ 1]\), а вне этого отрезка плотность равна нулю.
Осталось найти плотность на самом отрезке. Вероятность промежутка равна площади фигуры под графиком плотности над этим промежутком, поэтому площадь фигуры над отрезком \([0;\ b]\) обязана равняться \(b^2\) — и не при одном каком-то \(b\), а при каждом \(b\) из отрезка \([0;\ 1]\).
Посмотрим, какой график это даёт. Если бы плотность была постоянна, её график был бы горизонтальным отрезком, а площадь прямоугольника над отрезком \([0;\ b]\) росла бы пропорционально \(b\) — не подходит. А площадь треугольника с вершиной в начале координат растёт как раз пропорционально \(b^2\): при увеличении \(b\) вдвое вдвое растут и основание, и высота. Поэтому будем искать плотность в виде отрезка прямой, проходящей через начало координат: \(f(x) = kx\) при \(0 \leqslant x \leqslant 1\), где \(k > 0\).
Над отрезком \([0;\ b]\) такой график даёт треугольник с основанием \(b\) и высотой \(kb\), его площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot b \cdot kb = \frac{k}{2}b^2\). Равенство \(\frac{k}{2}b^2 = b^2\) верно при каждом \(b\) тогда и только тогда, когда \(\frac{k}{2} = 1\), то есть \(k = 2\).
Проверка: функция \(f(x) = 2x\) на отрезке \([0;\ 1]\) неотрицательна, вне отрезка равна нулю; фигура под её графиком — треугольник с основанием 1 и высотой 2, его площадь \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\); над отрезком \([0;\ b]\) площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot b \cdot 2b = b^2\) при каждом \(b\) из отрезка \([0;\ 1]\). Оба условия плотности выполнены, и все три данные вероятности получаются верными.
Значит, плотность распределения такова: \[f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x < 0 \text{ или } x > 1,\\ 2x, \text{ если } 0 \leqslant x \leqslant 1. \end{cases}\]
Ответ: \(f(x) = 2x\) при \(0 \leqslant x \leqslant 1\) и \(f(x) = 0\) вне отрезка \([0;\ 1]\).
