Страница 229 номер 467, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Плотность неотрицательна при всех \(x\), и площадь фигуры между её графиком и осью абсцисс равна 1; значение \(a\) подбираем так, чтобы выполнились оба условия.
а) Дана функция \[p(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x < 3,\\ 0{,}5x - a, \text{ если } 3 \leqslant x \leqslant 5,\\ 0, \text{ если } x > 5. \end{cases}\]
Вне отрезка \([3;\ 5]\) функция равна нулю, на отрезке её график — отрезок прямой с концами \(p(3) = 0{,}5 \cdot 3 - a = 1{,}5 - a\) и \(p(5) = 0{,}5 \cdot 5 - a = 2{,}5 - a\).
Под графиком трапеция с основаниями \(1{,}5 - a\) и \(2{,}5 - a\) и высотой 2, её площадь \[\frac{(1{,}5 - a) + (2{,}5 - a)}{2} \cdot 2 = 4 - 2a.\]
Площадь должна равняться 1, то есть \(4 - 2a = 1\), откуда \(2a = 3\) и \(a = 1{,}5\).
При \(a = 1{,}5\) получаем \(p(3) = 0\) и \(p(5) = 1\): на отрезке функция возрастает от 0 до 1, вне отрезка равна нулю, то есть неотрицательна при всех \(x\). Оба условия выполнены, подходит \(a = 1{,}5\).
б) Дана функция \[f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x < -1 \text{ или } x > 1,\\ ax + 0{,}5, \text{ если } {-1} \leqslant x \leqslant 1. \end{cases}\]
На отрезке \([-1;\ 1]\) её график — отрезок прямой с концами \(f(-1) = 0{,}5 - a\) и \(f(1) = 0{,}5 + a\), вне отрезка функция равна нулю.
Под графиком трапеция с основаниями \(0{,}5 - a\) и \(0{,}5 + a\) и высотой 2, её площадь \[\frac{(0{,}5 - a) + (0{,}5 + a)}{2} \cdot 2 = 1.\]
Слагаемые с буквой \(a\) взаимно уничтожились: площадь равна 1 при любом значении \(a\), второе условие никаких значений не отбирает, и всё решает неотрицательность.
Линейная функция принимает наименьшее значение в одном из концов отрезка, поэтому достаточно неотрицательности в точках \(x = -1\) и \(x = 1\): из \(0{,}5 - a \geqslant 0\) следует \(a \leqslant 0{,}5\), из \(0{,}5 + a \geqslant 0\) следует \(a \geqslant -0{,}5\). Подходит любое число из отрезка \([-0{,}5;\ 0{,}5]\), наибольшее из этих чисел — \(0{,}5\).
Ответ: а) \(a = 1{,}5\); б) подходит любое \(a\), для которого \(-0{,}5 \leqslant a \leqslant 0{,}5\); наибольшее такое значение — \(a = 0{,}5\).
Плотность распределения узнаётся по двум условиям: она неотрицательна при всех \(x\), и площадь фигуры, заключённой между её графиком и осью абсцисс, равна 1. Значение \(a\) и подбираем так, чтобы выполнились оба условия.
а) Дана функция \[p(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x < 3,\\ 0{,}5x - a, \text{ если } 3 \leqslant x \leqslant 5,\\ 0, \text{ если } x > 5. \end{cases}\]
Вне отрезка \([3;\ 5]\) функция равна нулю, а на самом отрезке её график — отрезок прямой с концами \(p(3) = 0{,}5 \cdot 3 - a = 1{,}5 - a\) и \(p(5) = 0{,}5 \cdot 5 - a = 2{,}5 - a\). Фигура под графиком — трапеция с основаниями \(1{,}5 - a\) и \(2{,}5 - a\) и высотой 2, её площадь равна \[\frac{(1{,}5 - a) + (2{,}5 - a)}{2} \cdot 2 = 4 - 2a.\]
Площадь должна равняться 1, то есть \(4 - 2a = 1\), откуда \(2a = 3\) и \(a = 1{,}5\).
Проверим для найденного значения первое условие. При \(a = 1{,}5\) получаем \(p(3) = 0\) и \(p(5) = 1\), на отрезке \([3;\ 5]\) функция возрастает от 0 до 1, а вне отрезка равна нулю — она неотрицательна при всех \(x\). Оба условия выполнены, значит, подходит \(a = 1{,}5\).
б) Дана функция \[f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x < -1 \text{ или } x > 1,\\ ax + 0{,}5, \text{ если } {-1} \leqslant x \leqslant 1. \end{cases}\]
На отрезке \([-1;\ 1]\) её график — отрезок прямой с концами \(f(-1) = 0{,}5 - a\) и \(f(1) = 0{,}5 + a\), вне отрезка функция равна нулю. Фигура под графиком — трапеция с основаниями \(0{,}5 - a\) и \(0{,}5 + a\) и высотой 2, её площадь равна \[\frac{(0{,}5 - a) + (0{,}5 + a)}{2} \cdot 2 = 1.\]
Слагаемые с буквой \(a\) взаимно уничтожились: площадь равна 1 при любом значении \(a\). Значит, второе условие выполняется само собой и никаких значений не отбирает, и всё решает первое условие — неотрицательность.
Линейная функция принимает наименьшее значение в одном из концов отрезка, поэтому достаточно потребовать неотрицательности в точках \(x = -1\) и \(x = 1\): из \(0{,}5 - a \geqslant 0\) следует \(a \leqslant 0{,}5\), а из \(0{,}5 + a \geqslant 0\) следует \(a \geqslant -0{,}5\). Подходит любое число из отрезка \([-0{,}5;\ 0{,}5]\), наибольшее из этих чисел — \(0{,}5\).
Ответ: а) \(a = 1{,}5\); б) подходит любое \(a\), для которого \(-0{,}5 \leqslant a \leqslant 0{,}5\); наибольшее такое значение — \(a = 0{,}5\).
