Страница 229 номер 466, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

График плотности вероятности величины \(Y\) — ломаная. Левее точки \(x = -4\) она совпадает с осью абсцисс; в точке \(x = -4\) значение скачком поднимается до \(0{,}2\); на отрезке \([-4;\ -2]\) плотность постоянна и равна \(0{,}2\); на отрезке \([-2;\ -1]\) график спускается по прямой из точки \((-2;\ 0{,}2)\) в точку \((-1;\ 0{,}1)\); на отрезке \([-1;\ 2]\) плотность постоянна и равна \(0{,}1\); на отрезке \([2;\ 3]\) график поднимается по прямой из точки \((2;\ 0{,}1)\) в точку \((3;\ 0{,}2)\); в точке \(x = 3\) значение скачком падает до нуля, и правее тройки плотность равна нулю.

Проверим, что перед нами действительно плотность. Над отрезком \([-4;\ -2]\) лежит прямоугольник площади \(2 \cdot 0{,}2 = 0{,}4\), над отрезком \([-2;\ -1]\) — трапеция площади \(\frac{0{,}2 + 0{,}1}{2} \cdot 1 = 0{,}15\), над отрезком \([-1;\ 2]\) — прямоугольник площади \(3 \cdot 0{,}1 = 0{,}3\), над отрезком \([2;\ 3]\) — трапеция площади \(\frac{0{,}1 + 0{,}2}{2} \cdot 1 = 0{,}15\). Вся площадь под графиком равна \[0{,}4 + 0{,}15 + 0{,}3 + 0{,}15 = 1.\]

Вероятность каждого события равна площади фигуры, заключённой под графиком над соответствующим промежутком. Вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, поэтому строгость неравенств на ответ нигде не влияет: включать концы промежутка в событие или не включать — вероятность одна и та же.

а) Событие \(-2 \leqslant Y \leqslant 2\). Над отрезком \([-2;\ -1]\) лежит трапеция площади \(0{,}15\), над отрезком \([-1;\ 2]\) — прямоугольник площади \(0{,}3\): \[\mathrm{P}(-2 \leqslant Y \leqslant 2) = 0{,}15 + 0{,}3 = 0{,}45.\]

б) Событие \(2 < Y \leqslant 5\). Правее точки \(x = 3\) плотность равна нулю, поэтому площадь есть только над отрезком \([2;\ 3]\) — это трапеция с основаниями \(0{,}1\) и \(0{,}2\) и высотой 1: \[\mathrm{P}(2 < Y \leqslant 5) = \frac{0{,}1 + 0{,}2}{2} \cdot 1 = 0{,}15.\]

в) Событие \(-2 \leqslant Y < 5\). Промежуток от \(-2\) до 5 состоит из промежутка от \(-2\) до 2 и промежутка от 2 до 5, а вероятности их уже найдены: \[\mathrm{P}(-2 \leqslant Y < 5) = 0{,}45 + 0{,}15 = 0{,}6.\]

г) Событие \(0 \leqslant Y \leqslant 4\). Над отрезком \([0;\ 2]\) лежит прямоугольник с основанием 2 и высотой \(0{,}1\) площади \(0{,}2\), над отрезком \([2;\ 3]\) — трапеция площади \(0{,}15\), а правее тройки плотность равна нулю и площади нет: \[\mathrm{P}(0 \leqslant Y \leqslant 4) = 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}35.\]

д) Событие \(-3 \leqslant Y \leqslant 3\). Над отрезком \([-3;\ -2]\) лежит прямоугольник с основанием 1 и высотой \(0{,}2\) площади \(0{,}2\), дальше идут уже сосчитанные части — \(0{,}15\) над отрезком \([-2;\ -1]\), \(0{,}3\) над отрезком \([-1;\ 2]\) и \(0{,}15\) над отрезком \([2;\ 3]\): \[\mathrm{P}(-3 \leqslant Y \leqslant 3) = 0{,}2 + 0{,}15 + 0{,}3 + 0{,}15 = 0{,}8.\]

е) Событие \(-4 < Y < 3\). Вне промежутка от \(-4\) до 3 плотность равна нулю, поэтому вся площадь под графиком лежит над этим промежутком, а она равна 1: \[\mathrm{P}(-4 < Y < 3) = 1.\]

Ответ: а) \(0{,}45\); б) \(0{,}15\); в) \(0{,}6\); г) \(0{,}35\); д) \(0{,}8\); е) 1.