Страница 229 номер 465, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Перерисуйте график плотности распределения (рис. 158) в тетрадь. Отметьте на числовой прямой событие \(X > 0\) и найдите его вероятность, вычислив площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Событие \(X > 0\) — луч числовой прямой правее нуля, его вероятность равна площади фигуры под графиком плотности правее нуля.
а) График плотности — ломаная с вершинами \((-2;\ 0)\), \((0;\ 0{,}2)\), \((3;\ 0{,}2)\), \((5;\ 0)\); вне отрезка \([-2;\ 5]\) плотность равна нулю.
\(3 \cdot 0{,}2 = 0{,}6\) — площадь прямоугольника над отрезком \([0;\ 3]\) с основанием 3 и высотой \(0{,}2\).
\(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}2\) — площадь треугольника над отрезком \([3;\ 5]\) с основанием 2 и высотой \(0{,}2\).
\[\mathrm{P}(X > 0) = 0{,}6 + 0{,}2 = 0{,}8.\]
Проверка: вся фигура под графиком — трапеция с основаниями 7 и 3 и высотой \(0{,}2\), её площадь \(\frac{7 + 3}{2} \cdot 0{,}2 = 1\), как и должно быть у плотности.
б) График плотности — ломаная с вершинами \((-3;\ 0)\), \((-1;\ 0{,}2)\), \((0;\ 0{,}1)\), \((2;\ 0{,}3)\), \((3;\ 0{,}1)\), \((4;\ 0)\); вне отрезка \([-3;\ 4]\) плотность равна нулю.
\(\frac{0{,}1 + 0{,}3}{2} \cdot 2 = 0{,}4\) — площадь трапеции над отрезком \([0;\ 2]\) с основаниями \(0{,}1\) и \(0{,}3\) и высотой 2.
\(\frac{0{,}3 + 0{,}1}{2} \cdot 1 = 0{,}2\) — площадь трапеции над отрезком \([2;\ 3]\) с основаниями \(0{,}3\) и \(0{,}1\) и высотой 1.
\(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}1 = 0{,}05\) — площадь треугольника над отрезком \([3;\ 4]\) с основанием 1 и высотой \(0{,}1\).
\[\mathrm{P}(X > 0) = 0{,}4 + 0{,}2 + 0{,}05 = 0{,}65.\]
Проверка: левее нуля лежат треугольник над отрезком \([-3;\ -1]\) площади \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}2\) и трапеция над отрезком \([-1;\ 0]\) площади \(\frac{0{,}2 + 0{,}1}{2} \cdot 1 = 0{,}15\), и вся площадь под графиком равна \(0{,}2 + 0{,}15 + 0{,}65 = 1\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X > 0) = 0{,}8\); б) \(\mathrm{P}(X > 0) = 0{,}65\).
Перерисуйте график плотности распределения (рис. 158) в тетрадь. Отметьте на числовой прямой событие \(X > 0\) и найдите его вероятность, вычислив площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Событие \(X > 0\) — это луч числовой прямой, состоящий из всех точек, лежащих правее нуля. Его вероятность равна площади фигуры, заключённой под графиком плотности правее нуля.
а) График плотности — ломаная с вершинами \((-2;\ 0)\), \((0;\ 0{,}2)\), \((3;\ 0{,}2)\), \((5;\ 0)\); вне отрезка \([-2;\ 5]\) плотность равна нулю.
Правее нуля фигура под графиком распадается на две части: прямоугольник над отрезком \([0;\ 3]\) с основанием 3 и высотой \(0{,}2\) и треугольник над отрезком \([3;\ 5]\) с основанием 2 и высотой \(0{,}2\). Значит, \(3 \cdot 0{,}2 = 0{,}6\) — площадь прямоугольника, \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}2\) — площадь треугольника, а вместе \[\mathrm{P}(X > 0) = 0{,}6 + 0{,}2 = 0{,}8.\]
Проверка: вся фигура под графиком — трапеция с основаниями 7 и 3 и высотой \(0{,}2\), её площадь \(\frac{7 + 3}{2} \cdot 0{,}2 = 1\), как и должно быть у плотности.
б) График плотности — ломаная с вершинами \((-3;\ 0)\), \((-1;\ 0{,}2)\), \((0;\ 0{,}1)\), \((2;\ 0{,}3)\), \((3;\ 0{,}1)\), \((4;\ 0)\); вне отрезка \([-3;\ 4]\) плотность равна нулю.
Правее нуля фигура под графиком распадается на три части: \(\frac{0{,}1 + 0{,}3}{2} \cdot 2 = 0{,}4\) — площадь трапеции над отрезком \([0;\ 2]\) с основаниями \(0{,}1\) и \(0{,}3\) и высотой 2; \(\frac{0{,}3 + 0{,}1}{2} \cdot 1 = 0{,}2\) — площадь трапеции над отрезком \([2;\ 3]\) с основаниями \(0{,}3\) и \(0{,}1\) и высотой 1; \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}1 = 0{,}05\) — площадь треугольника над отрезком \([3;\ 4]\) с основанием 1 и высотой \(0{,}1\). Значит, \[\mathrm{P}(X > 0) = 0{,}4 + 0{,}2 + 0{,}05 = 0{,}65.\]
Проверка: левее нуля лежат треугольник над отрезком \([-3;\ -1]\) с основанием 2 и высотой \(0{,}2\) площади \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}2\) и трапеция над отрезком \([-1;\ 0]\) с основаниями \(0{,}2\) и \(0{,}1\) и высотой 1 площади \(\frac{0{,}2 + 0{,}1}{2} \cdot 1 = 0{,}15\). Вся площадь под графиком равна \(0{,}2 + 0{,}15 + 0{,}65 = 1\), как и должно быть у плотности.
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X > 0) = 0{,}8\); б) \(\mathrm{P}(X > 0) = 0{,}65\).
