Страница 222 номер 462, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Монету бросили 100 раз. Орёл выпал 45 раз. Проверьте гипотезу «монета симметрична» на уровне значимости: а) \(0{,}05\); б) \(0{,}01\).
Гипотеза: \(H = \{p = 0{,}5\}\), то есть вероятность выпадения орла равна \(0{,}5\).
Статистика критерия: \(X\) — число выпавших орлов в серии из 100 бросаний, наблюдение \(X = 45\); бросания независимы и одинаковы, поэтому при верной гипотезе \(X\) имеет биномиальное распределение \(Bi(100;\ 0{,}5)\), а значит, \[\mathrm{E}X = np = 100 \cdot 0{,}5 = 50, \qquad \mathrm{D}X = npq = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25, \qquad \sqrt{\mathrm{D}X} = 5.\]
Орлов выпало меньше ожидаемого: отклонение равно \(45 - 50 = -5\), по модулю \(|{-5}| = 5\); сомнительно при верной гипотезе слишком большое отклонение в любую сторону, поэтому сравнивается модуль.
Критерий проверки: на уровне значимости \(0{,}05\) практически достоверно отклонение меньше двух стандартных отклонений (вероятность около \(0{,}95\)), на уровне значимости \(0{,}01\) — меньше трёх (вероятность приблизительно \(0{,}997\)).
а) \(2 \cdot 5 = 10\) — два стандартных отклонения, интервал от 40 до 60. Модуль отклонения 5 меньше 10, число орлов 45 лежит внутри интервала: на уровне значимости \(0{,}05\) гипотезу отвергать нельзя.
б) \(3 \cdot 5 = 15\) — три стандартных отклонения, интервал шире: от 35 до 65. Наблюдение попало уже в узкий интервал пункта а), поэтому и в этот тем более: \(5 < 15\). На уровне значимости \(0{,}01\) гипотезу отвергать тоже нельзя.
Вывод «отвергнуть нельзя» не означает, что монета симметрична: те же 45 орлов не противоречат, например, и предположению, что вероятность выпадения орла равна \(0{,}47\).
Ответ: и на уровне значимости \(0{,}05\), и на уровне значимости \(0{,}01\) гипотезу «монета симметрична» отвергнуть нельзя — она правдоподобна.
Монету бросили 100 раз. Орёл выпал 45 раз. Проверьте гипотезу «монета симметрична» на уровне значимости: а) \(0{,}05\); б) \(0{,}01\).
Монету бросили 100 раз, и орёл выпал 45 раз. Проверяем гипотезу «монета симметрична» на двух уровнях значимости: а) \(0{,}05\); б) \(0{,}01\).
Гипотеза: \(H = \{p = 0{,}5\}\), то есть вероятность выпадения орла равна \(0{,}5\).
Статистика критерия: \(X\) — число выпавших орлов в серии из 100 бросаний. Бросания независимы и одинаковы, поэтому при верной гипотезе величина \(X\) имеет биномиальное распределение \(Bi(100;\ 0{,}5)\), а значит,
\[\mathrm{E}X = np = 100 \cdot 0{,}5 = 50, \qquad \mathrm{D}X = npq = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25, \qquad \sqrt{\mathrm{D}X} = 5.\]
Орлов выпало меньше, чем ожидается при симметричной монете: отклонение равно \(45 - 50 = -5\), то есть по модулю \(|{-5}| = 5\). Сомнительно при верной гипотезе слишком большое отклонение в любую сторону, поэтому с границами сравнивается именно модуль отклонения.
Критерий проверки: на уровне значимости \(0{,}05\) практически достоверно, что отклонение числа орлов от математического ожидания окажется меньше двух стандартных отклонений (вероятность этого около \(0{,}95\)); на уровне значимости \(0{,}01\) берутся три стандартных отклонения (вероятность приблизительно \(0{,}997\)). Вышло наблюдение за эти границы — гипотезу отвергаем, не вышло — отвергать нельзя.
а) Два стандартных отклонения дают \(2 \cdot 5 = 10\), то есть интервал от 40 до 60. Модуль отклонения равен 5, и это меньше 10: число орлов 45 лежит внутри интервала. При симметричной монете такое число орлов — вполне возможное, поэтому на уровне значимости \(0{,}05\) гипотезу отвергать нельзя.
б) Три стандартных отклонения дают \(3 \cdot 5 = 15\), то есть более широкий интервал — от 35 до 65. Наблюдение попало уже в более узкий интервал пункта а), поэтому в этот интервал оно попадает тем более: \(5 < 15\). На уровне значимости \(0{,}01\) гипотезу отвергать тоже нельзя.
Вывод «отвергнуть нельзя» не означает, что монета симметрична: проверка показала лишь, что данные гипотезе не противоречат и гипотеза правдоподобна. Те же 45 орлов не противоречат, например, и предположению, что вероятность выпадения орла равна \(0{,}47\).
Ответ: и на уровне значимости \(0{,}05\), и на уровне значимости \(0{,}01\) гипотезу «монета симметрична» отвергнуть нельзя — она правдоподобна.
