Страница 222 номер 461, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Монету бросили 100 раз. Орёл выпал 62 раза. Проверьте гипотезу «монета симметрична» на уровне значимости: а) \(0{,}05\); б) \(0{,}01\).
Гипотеза: \(H\) — «монета симметрична», то есть вероятность выпадения орла равна \(0{,}5\); в записи \(H = \{p = 0{,}5\}\).
Статистика критерия: \(X\) — число выпавших орлов в серии из 100 бросаний, наблюдение \(X = 62\); бросания независимы и одинаковы, поэтому при верной гипотезе \(X\) имеет биномиальное распределение \(Bi(100;\ 0{,}5)\), а значит, \[\mathrm{E}X = np = 100 \cdot 0{,}5 = 50, \qquad \mathrm{D}X = npq = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25, \qquad \sqrt{\mathrm{D}X} = 5.\]
Критерий проверки: гипотезу отвергаем, если отклонение \(X\) от математического ожидания больше заданного числа стандартных отклонений. Отклонение меньше двух стандартных отклонений имеет вероятность около \(0{,}95\), поэтому большее отклонение отвечает уровню значимости \(0{,}05\); отклонение меньше трёх стандартных отклонений имеет вероятность приблизительно \(0{,}997\), поэтому большее отвечает уровню значимости \(0{,}01\).
а) \(2\sqrt{\mathrm{D}X} = 2 \cdot 5 = 10\) — два стандартных отклонения, интервал от \(50 - 10 = 40\) до \(50 + 10 = 60\).
Отклонение \(|62 - 50| = 12\) больше 10, наблюдение в интервал не попало: при верной гипотезе произошло событие с вероятностью меньше \(0{,}05\), и на уровне значимости \(0{,}05\) гипотезу следует отвергнуть.
б) \(3\sqrt{\mathrm{D}X} = 3 \cdot 5 = 15\) — три стандартных отклонения, более широкий интервал от \(50 - 15 = 35\) до \(50 + 15 = 65\).
Отклонение 12 меньше 15, наблюдение \(X = 62\) лежит внутри интервала: маловероятного события не произошло, и на уровне значимости \(0{,}01\) гипотезу отвергать нельзя — она правдоподобна.
Меньшему уровню значимости отвечает более широкий интервал, поэтому вывод пункта а) на пункт б) не переносится.
Ответ: а) на уровне значимости \(0{,}05\) гипотезу «монета симметрична» следует отвергнуть; б) на уровне значимости \(0{,}01\) эту гипотезу отвергнуть нельзя, она правдоподобна.
Монету бросили 100 раз. Орёл выпал 62 раза. Проверьте гипотезу «монета симметрична» на уровне значимости: а) \(0{,}05\); б) \(0{,}01\).
Монету бросили 100 раз, и орёл выпал 62 раза. Проверяем гипотезу «монета симметрична» на двух уровнях значимости: а) \(0{,}05\); б) \(0{,}01\).
Гипотеза: \(H\) — «монета симметрична», то есть вероятность выпадения орла равна \(0{,}5\); в записи \(H = \{p = 0{,}5\}\).
Статистика критерия: \(X\) — число выпавших орлов в серии из 100 бросаний. Бросания независимы и одинаковы, поэтому при верной гипотезе величина \(X\) имеет биномиальное распределение \(Bi(100;\ 0{,}5)\), а значит,
\[\mathrm{E}X = np = 100 \cdot 0{,}5 = 50, \qquad \mathrm{D}X = npq = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25, \qquad \sqrt{\mathrm{D}X} = 5.\]
Критерий проверки: если при верной гипотезе наблюдённое значение \(X\) отклоняется от своего математического ожидания меньше чем на заданное число стандартных отклонений, то маловероятного события не произошло и гипотезу отвергать нельзя; если отклонение больше — гипотезу следует отвергнуть. Сколько стандартных отклонений брать, определяет уровень значимости: отклонение меньше двух стандартных отклонений имеет вероятность около \(0{,}95\), поэтому большее отклонение отвечает уровню значимости \(0{,}05\); отклонение меньше трёх стандартных отклонений имеет вероятность приблизительно \(0{,}997\), поэтому большее отклонение отвечает уровню значимости \(0{,}01\).
а) Уровню значимости \(0{,}05\) отвечают два стандартных отклонения: \(2\sqrt{\mathrm{D}X} = 2 \cdot 5 = 10\). При симметричной монете практически достоверно, что число орлов окажется в интервале от \(50 - 10 = 40\) до \(50 + 10 = 60\).
Наблюдение \(X = 62\) в этот интервал не попало: отклонение равно \(|62 - 50| = 12\), а это больше 10. Значит, при верной гипотезе произошло событие, вероятность которого меньше \(0{,}05\), и гипотезу следует отвергнуть на уровне значимости \(0{,}05\).
б) Уровню значимости \(0{,}01\) отвечают три стандартных отклонения: \(3\sqrt{\mathrm{D}X} = 3 \cdot 5 = 15\). Практически достоверным становится более широкий интервал — от \(50 - 15 = 35\) до \(50 + 15 = 65\).
Наблюдение \(X = 62\) лежит внутри этого интервала: отклонение 12 меньше 15. Маловероятного события не произошло, поэтому на уровне значимости \(0{,}01\) гипотезу отвергать нельзя — её следует признать правдоподобной.
Меньшему уровню значимости отвечает более широкий интервал, поэтому отвергнуть гипотезу на уровне значимости \(0{,}01\) труднее, чем на уровне \(0{,}05\): вывод пункта а) на пункт б) не переносится.
Ответ: а) на уровне значимости \(0{,}05\) гипотезу «монета симметрична» следует отвергнуть; б) на уровне значимости \(0{,}01\) эту гипотезу отвергнуть нельзя, она правдоподобна.
