Страница 218 номер 457, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(n = 2000\) — число бросаний канцелярской кнопки
\(X = 800\) — число бросаний, в которых кнопка выпала остриём вверх
Найти: доверительный интервал для вероятности \(p\) события «остриё вверх» по правилу «плюс-минус три стандартных отклонения».
Решение:
\(\hat{p} = \frac{800}{2000} = 0{,}4\) — частота события «остриё вверх», несмещённая оценка вероятности \(p\).
Практически достоверно событие \(|\hat{p} - p| < 3s\), то есть \((\hat{p} - p)^2 < 9s^2\), где \(s\) — стандартное отклонение частоты \(\hat{p}\).
Число успехов \(X\) в серии из \(n\) испытаний Бернулли имеет дисперсию \(np(1 - p)\), поэтому \[s^2 = \mathrm{D}\hat{p} = \mathrm{D}\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1 - p) = \frac{p - p^2}{n}.\]
Подставим \(\hat{p} = 0{,}4\) и \(n = 2000\): \[(0{,}4 - p)^2 < 9 \cdot \frac{p - p^2}{2000}.\]
Умножим обе части на 2000: \(2000(0{,}4 - p)^2 < 9(p - p^2)\), то есть \(2000p^2 - 1600p + 320 < 9p - 9p^2\), откуда \[2009p^2 - 1609p + 320 < 0.\]
Дискриминант: \(1609^2 - 4 \cdot 2009 \cdot 320 = 2\,588\,881 - 2\,571\,520 = 17\,361\), \(\sqrt{17\,361} = 131{,}76\ldots\)
\[p_1 = \frac{1609 - \sqrt{17\,361}}{4018} = 0{,}36765\ldots, \qquad p_2 = \frac{1609 + \sqrt{17\,361}}{4018} = 0{,}43324\ldots\]
Трёхчлен отрицателен между корнями (ветви параболы вверх): \(0{,}36765\ldots < p < 0{,}43324\ldots\)
Округлим до тысячных: левую границу вниз, правую вверх — так интервал только расширяется.
Проверка: \(2009 \cdot 0{,}367^2 - 1609 \cdot 0{,}367 + 320 = 0{,}087201 > 0\) и \(2009 \cdot 0{,}434^2 - 1609 \cdot 0{,}434 + 320 = 0{,}101204 > 0\) — обе границы вне промежутка решений, округление интервал не сузило.
С вероятностью приблизительно \(0{,}997\) вероятность события «остриё вверх» принадлежит интервалу \((0{,}367;\ 0{,}434)\).
Ответ: доверительный интервал для вероятности события «остриё вверх» — \((0{,}367;\ 0{,}434)\).
Дано:
\(n = 2000\) — число бросаний канцелярской кнопки
\(X = 800\) — число бросаний, в которых кнопка выпала остриём вверх
Найти: доверительный интервал для вероятности \(p\) события «остриё вверх» по правилу «плюс-минус три стандартных отклонения».
Решение:
Частота события «остриё вверх» в этой серии равна \(\hat{p} = \frac{800}{2000} = 0{,}4\). Это точечная состоятельная и несмещённая оценка неизвестной вероятности \(p\); несмещённость как раз и значит, что математическое ожидание частоты равно \(p\).
Будем считать практически достоверным событие «частота отклоняется от своего математического ожидания меньше чем на три стандартных отклонения», то есть событие \(|\hat{p} - p| < 3s\), или, что то же самое, \((\hat{p} - p)^2 < 9s^2\), где \(s\) — стандартное отклонение случайной величины \(\hat{p}\).
Число успехов \(X\) в серии из \(n\) испытаний Бернулли имеет дисперсию \(np(1 - p)\), поэтому
\[s^2 = \mathrm{D}\hat{p} = \mathrm{D}\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1 - p) = \frac{p - p^2}{n}.\]
Подставим в неравенство это выражение, а также \(\hat{p} = 0{,}4\) и \(n = 2000\):
\[(0{,}4 - p)^2 < 9 \cdot \frac{p - p^2}{2000}.\]
Умножим обе части на 2000: \(2000(0{,}4 - p)^2 < 9(p - p^2)\), то есть \(2000p^2 - 1600p + 320 < 9p - 9p^2\). Перенесём всё в левую часть и получим квадратное неравенство относительно \(p\):
\[2009p^2 - 1609p + 320 < 0.\]
Дискриминант квадратного трёхчлена равен \(1609^2 - 4 \cdot 2009 \cdot 320 = 2\,588\,881 - 2\,571\,520 = 17\,361\), нацело корень из него не извлекается: \(\sqrt{17\,361} = 131{,}76\ldots\) Корни трёхчлена:
\[p_1 = \frac{1609 - \sqrt{17\,361}}{4018} = 0{,}36765\ldots, \qquad p_2 = \frac{1609 + \sqrt{17\,361}}{4018} = 0{,}43324\ldots\]
Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен отрицателен между корнями: \(0{,}36765\ldots < p < 0{,}43324\ldots\)
Округлим границы до тысячных, причём левую — вниз, а правую — вверх. При таком округлении интервал только расширяется и доверие к нему не падает, а при обычном округлении интервал сузился бы и часть подходящих значений вероятности из него выпала бы.
Проверка: подставим найденные границы в трёхчлен: \(2009 \cdot 0{,}367^2 - 1609 \cdot 0{,}367 + 320 = 0{,}087201 > 0\) и \(2009 \cdot 0{,}434^2 - 1609 \cdot 0{,}434 + 320 = 0{,}101204 > 0\). На обеих границах трёхчлен положителен, значит, обе они лежат вне промежутка решений и округление интервал не сузило.
С большой вероятностью — приблизительно \(0{,}997\) — неизвестная вероятность выпадения кнопки остриём вверх принадлежит интервалу \((0{,}367;\ 0{,}434)\).
Ответ: доверительный интервал для вероятности события «остриё вверх» — \((0{,}367;\ 0{,}434)\).
