Страница 218 номер 456, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Неизвестную вероятность \(p\) события оценивают частотой \(\hat{p}\), многократно повторяя один и тот же опыт; при выбранной доверительной вероятности получился интервал \((0{,}1;\ 0{,}3)\).
\(0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}2\) — его длина, вдвое больше требуемых \(0{,}1\): интервал надо укоротить не меньше чем вдвое.
Первый способ — снизить доверительную вероятность. Интервал строится из требования, чтобы погрешность \(|\hat{p} - p|\) не превышала нескольких стандартных отклонений оценки: трём стандартным отклонениям отвечает вероятность приблизительно \(0{,}997\), двум — около \(0{,}95\). Чем меньше стандартных отклонений берём, тем интервал короче, но доверие к нему падает.
Второй способ — провести дополнительную серию опытов, увеличив число опытов \(n\). Здесь \(X\) — число успехов в серии из \(n\) опытов, и стандартное отклонение \(s\) частоты \(\hat{p}\) связано с числом опытов равенством \[s^2 = \mathrm{D}\hat{p} = \mathrm{D}\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1 - p) = \frac{p - p^2}{n}.\]
С ростом \(n\) величина \(s\) убывает, а с ней и полуширина интервала \(3s\): интервал станет короче при прежней доверительной вероятности.
Полуширина \(3\sqrt{\frac{p - p^2}{n}}\) убывает примерно как \(\frac{1}{\sqrt{n}}\), поэтому для укорочения интервала вдвое опытов нужно примерно вчетверо больше; точное число указать нельзя — вероятность \(p\) неизвестна.
Третьего способа нет: длина интервала определяется только доверительной вероятностью и числом опытов.
Ответ: Годятся два способа: 1) снизить доверительную вероятность — интервал сузится, но доверие к нему упадёт; 2) провести дополнительную серию опытов, увеличив общее число опытов примерно вчетверо, — интервал сузится при прежней доверительной вероятности.
Неизвестную вероятность \(p\) события оценивают, повторяя один и тот же опыт многократно. При выбранной доверительной вероятности получился доверительный интервал \((0{,}1;\ 0{,}3)\), а заказчик требует, чтобы длина интервала не превосходила \(0{,}1\).
Длина полученного интервала равна \(0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}2\) — она вдвое больше требуемой. Значит, интервал нужно укоротить не меньше чем вдвое.
Первый способ — снизить доверительную вероятность. Интервал строится из требования, чтобы погрешность \(|\hat{p} - p|\) не превышала нескольких стандартных отклонений оценки: трём стандартным отклонениям отвечает вероятность приблизительно \(0{,}997\), двум — около \(0{,}95\). Если разрешить погрешности не три стандартных отклонения, а меньше, интервал станет уже: чем меньше стандартных отклонений мы берём, тем он короче, и так его длину можно довести до требуемой. Но доверие к такому интервалу падает — требование заказчика будет выполнено за счёт надёжности вывода.
Второй способ — провести дополнительную серию опытов и объединить её результаты с уже полученными, то есть увеличить число опытов \(n\). Стандартное отклонение \(s\) частоты \(\hat{p}\) связано с числом опытов равенством
\[s^2 = \mathrm{D}\hat{p} = \mathrm{D}\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1 - p) = \frac{p - p^2}{n}.\]
Здесь \(X\) — число успехов в серии из \(n\) опытов. С ростом \(n\) величина \(s\) убывает, а вместе с ней убывает и полуширина интервала \(3s\). Значит, при прежней доверительной вероятности интервал станет короче, и надёжностью жертвовать не придётся.
Насколько надо увеличить число опытов, видно из той же формулы: полуширина ведёт себя как \(3\sqrt{\frac{p - p^2}{n}}\), то есть убывает примерно как \(\frac{1}{\sqrt{n}}\). Поэтому, чтобы укоротить интервал примерно вдвое, опытов нужно примерно вчетверо больше. Точное число опытов указать нельзя: вероятность \(p\) неизвестна, а найденный квадратным неравенством интервал относительно частоты не симметричен.
Третьего способа здесь нет: сдвиг границ или их округление длиной интервала не управляют — она определяется только доверительной вероятностью и числом опытов.
Ответ: Годятся два способа: 1) снизить доверительную вероятность — интервал сузится, но доверие к нему упадёт; 2) провести дополнительную серию опытов, увеличив общее число опытов примерно вчетверо, — интервал сузится при прежней доверительной вероятности.
