Страница 216 номер 453, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Две выборки по \(100\) наблюдений из одной генеральной совокупности: в первой среднее равно \(172\), выборочная дисперсия равна \(12\); во второй — \(176\) и \(16\). Объединённая выборка — все \(200\) наблюдений вместе.
а) Сумма значений первой выборки равна \(100 \cdot 172 = 17\,200\), второй — \(100 \cdot 176 = 17\,600\), поэтому среднее объединённой выборки равно \[\frac{17\,200 + 17\,600}{200} = \frac{34\,800}{200} = 174.\]
Значит, среднее объединённой выборки находится точно.
б) В объединённой выборке отклонения считаются уже от общего среднего \(174\), а не от средних \(172\) и \(176\), поэтому сумму квадратов отклонений надо пересчитать с одного центра на другой. Для любых чисел \(X_1\), …, \(X_n\) со средним \(\overline{X}\) и любого числа \(c\) верно \(X_k - c = (X_k - \overline{X}) + (\overline{X} - c)\), откуда \[(X_k - c)^2 = (X_k - \overline{X})^2 + 2(X_k - \overline{X})(\overline{X} - c) + (\overline{X} - c)^2.\]
Сумма отклонений от собственного среднего равна нулю: \((X_1 - \overline{X}) + \ldots + (X_n - \overline{X}) = (X_1 + \ldots + X_n) - n\overline{X} = 0\), поэтому при сложении по всем \(k\) средние слагаемые взаимно уничтожаются и остаётся тождество \[(X_1 - c)^2 + \ldots + (X_n - c)^2 = (X_1 - \overline{X})^2 + \ldots + (X_n - \overline{X})^2 + n(\overline{X} - c)^2.\]
Выборочная дисперсия получается делением суммы квадратов отклонений на \(n - 1 = 99\), поэтому у первой выборки эта сумма равна \(99 \cdot 12 = 1188\), а от числа \(174\) её отклонения дают \(1188 + 100 \cdot (172 - 174)^2 = 1188 + 400 = 1588\).
У второй выборки сумма равна \(99 \cdot 16 = 1584\), а от числа \(174\) — \(1584 + 100 \cdot (176 - 174)^2 = 1584 + 400 = 1984\).
В объединённой выборке сумма квадратов отклонений от её среднего равна \(1588 + 1984 = 3572\), и выборочная дисперсия объединённой выборки равна \[\frac{3572}{200 - 1} = \frac{3572}{199} = 17{,}9497\ldots \approx 17{,}95.\]
Все нужные величины известны, значит, и она находится точно. Усреднять при этом сами дисперсии нельзя: \(\frac{12 + 16}{2} = 14\) — не ответ, ведь при объединении к разбросу внутри каждой выборки добавляется разброс между их средними.
Ответ: а) среднее объединённой выборки найти можно, оно равно \(174\); б) выборочную дисперсию объединённой выборки тоже можно найти точно, она равна \(\frac{3572}{199} \approx 17{,}95\).
Из одной генеральной совокупности взяты две выборки по \(100\) наблюдений. В первой среднее равно \(172\), выборочная дисперсия равна \(12\); во второй среднее равно \(176\), выборочная дисперсия равна \(16\). Объединённая выборка — это все \(200\) наблюдений вместе.
а) Сумма всех значений первой выборки равна \(100 \cdot 172 = 17\,200\), второй — \(100 \cdot 176 = 17\,600\). Среднее объединённой выборки равно \[\frac{17\,200 + 17\,600}{200} = \frac{34\,800}{200} = 174.\]
Значит, среднее объединённой выборки находится точно и равно \(174\).
б) Выборочная дисперсия — это сумма квадратов отклонений от среднего, делённая на число наблюдений без единицы. В объединённой выборке отклонения считаются уже от общего среднего \(174\), а не от средних \(172\) и \(176\), поэтому нужно уметь пересчитывать сумму квадратов отклонений с одного центра на другой.
Пусть \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) — какие-нибудь числа, \(\overline{X}\) — их среднее, и пусть \(c\) — произвольное число. Тогда \(X_k - c = (X_k - \overline{X}) + (\overline{X} - c)\), откуда \[(X_k - c)^2 = (X_k - \overline{X})^2 + 2(X_k - \overline{X})(\overline{X} - c) + (\overline{X} - c)^2.\]
Сложим такие равенства по всем \(k\) от 1 до \(n\). Сумма отклонений от собственного среднего равна нулю: \((X_1 - \overline{X}) + \ldots + (X_n - \overline{X}) = (X_1 + \ldots + X_n) - n\overline{X} = 0\), поэтому средние слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётся тождество \[(X_1 - c)^2 + \ldots + (X_n - c)^2 = (X_1 - \overline{X})^2 + \ldots + (X_n - \overline{X})^2 + n(\overline{X} - c)^2.\]
Сумма квадратов отклонений первой выборки от её собственного среднего равна \(99 \cdot 12 = 1188\), потому что выборочная дисперсия получается делением этой суммы на \(n - 1 = 99\). По тождеству отклонения той же выборки от числа \(174\) дают \[1188 + 100 \cdot (172 - 174)^2 = 1188 + 400 = 1588.\]
У второй выборки сумма квадратов отклонений от её среднего равна \(99 \cdot 16 = 1584\), а от числа \(174\) — \[1584 + 100 \cdot (176 - 174)^2 = 1584 + 400 = 1984.\]
Значит, в объединённой выборке сумма квадратов отклонений от её среднего равна \(1588 + 1984 = 3572\), а выборочная дисперсия объединённой выборки равна \[\frac{3572}{200 - 1} = \frac{3572}{199} = 17{,}9497\ldots \approx 17{,}95.\]
Все нужные величины оказались известны, поэтому и выборочная дисперсия объединённой выборки находится точно. Усреднять при этом сами дисперсии нельзя: \(\frac{12 + 16}{2} = 14\) — не ответ, ведь при объединении выборок к разбросу внутри каждой из них добавляется разброс между их средними, то есть слагаемые \(100 \cdot (172 - 174)^2\) и \(100 \cdot (176 - 174)^2\).
Ответ: а) среднее объединённой выборки найти можно, оно равно \(174\); б) выборочную дисперсию объединённой выборки тоже можно найти точно, она равна \(\frac{3572}{199} \approx 17{,}95\).
