Страница 216 номер 452, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(n = 1000\) — объём выборки
значения величины \(X\) и число появлений каждого из них:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Значение} & 1000 & 200 & 0 \\ \hline \text{Сколько раз} & 12 & 92 & 896 \\ \hline \end{array}\]
Найти: несмещённые выборочные оценки \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{D}X\).
Решение: \(12 + 92 + 896 = 1000\) — учтены все наблюдения.
Несмещённая оценка \(\mathrm{E}X\) — выборочное среднее: \[\overline{X} = \frac{12 \cdot 1000 + 92 \cdot 200 + 896 \cdot 0}{1000} = \frac{12\,000 + 18\,400}{1000} = \frac{30\,400}{1000} = 30{,}4.\]
Среднее квадратов значений: \[\overline{X^2} = \frac{12 \cdot 1000^2 + 92 \cdot 200^2}{1000} = \frac{12\,000\,000 + 3\,680\,000}{1000} = 15\,680.\]
\(\overline{X}^2 = 30{,}4^2 = 924{,}16\) — квадрат среднего.
\(S^2 = \overline{X^2} - \overline{X}^2 = 15\,680 - 924{,}16 = 14\,755{,}84\) — обычная дисперсия выборки.
У выборочной дисперсии знаменатель \(n - 1 = 999\), поэтому она получается из обычной умножением на \(\frac{n}{n-1} = \frac{1000}{999}\): \[S_{\text{в}}^2 = \frac{1000}{999} \cdot 14\,755{,}84 = \frac{14\,755\,840}{999} = 14\,770{,}6106\ldots \approx 14\,770{,}61.\]
Ответ: оценка математического ожидания равна \(30{,}4\); оценка дисперсии равна приближённо \(14\,770{,}61\).
Дано:
\(n = 1000\) — объём выборки
значения величины \(X\) и число появлений каждого из них:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Значение} & 1000 & 200 & 0 \\ \hline \text{Сколько раз} & 12 & 92 & 896 \\ \hline \end{array}\]
Найти: несмещённые выборочные оценки \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{D}X\).
Решение: частоты в сумме дают объём выборки: \(12 + 92 + 896 = 1000\) — учтены все наблюдения.
Несмещённая оценка математического ожидания — выборочное среднее: \[\overline{X} = \frac{12 \cdot 1000 + 92 \cdot 200 + 896 \cdot 0}{1000} = \frac{12\,000 + 18\,400}{1000} = \frac{30\,400}{1000} = 30{,}4.\]
Несмещённая оценка дисперсии — выборочная дисперсия, у которой в знаменателе \(n - 1 = 999\). Сначала найдём обычную дисперсию выборки по формуле \(S^2 = \overline{X^2} - \overline{X}^2\). Среднее квадратов значений равно \[\overline{X^2} = \frac{12 \cdot 1000^2 + 92 \cdot 200^2}{1000} = \frac{12\,000\,000 + 3\,680\,000}{1000} = 15\,680.\]
Квадрат среднего равен \(\overline{X}^2 = 30{,}4^2 = 924{,}16\), поэтому обычная дисперсия выборки равна \(S^2 = 15\,680 - 924{,}16 = 14\,755{,}84\).
Выборочная дисперсия отличается от обычной только знаменателем, поэтому получается из неё умножением на \(\frac{n}{n-1} = \frac{1000}{999}\): \[S_{\text{в}}^2 = \frac{1000}{999} \cdot 14\,755{,}84 = \frac{14\,755\,840}{999} = 14\,770{,}6106\ldots \approx 14\,770{,}61.\]
Ответ: оценка математического ожидания равна \(30{,}4\); оценка дисперсии равна приближённо \(14\,770{,}61\).
