Страница 215 номер 449, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
На листе площадью \(100\) см\(^2\) нарисована фигура, площадь которой \(a\) и надо оценить; \(d\) — общее число капель на листе, \(d_1\) — число капель внутри фигуры, \(d_2\) — число капель на её границе, предложенная оценка \[\hat{a} = \frac{d_1 + 0{,}5d_2}{d}.\]
Обозначим \(p\) — долю площади листа, занятую фигурой; тогда \(a = 100p\) (см\(^2\)), и именно долю \(p\) оценивает записанная дробь.
Дождь кропит лист равномерно, капли падают независимо, поэтому для отдельной капли вероятность лечь внутрь фигуры равна \(p\).
Сопоставим \(k\)-й капле величину \(Y_k\): \(Y_k = 1\), если капля легла внутри фигуры, \(Y_k = 0{,}5\), если на границе, и \(Y_k = 0\), если вне фигуры. Тогда \(d_1 + 0{,}5d_2 = Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_d\), то есть оценка — среднее арифметическое выборки \(Y_1\), \(Y_2\), …, \(Y_d\): \[\hat{a} = \frac{Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_d}{d}.\]
Граничная капля накрывает контур, и внутри фигуры оказывается в среднем половина её площади, поэтому в среднем она и вносит в числитель \(0{,}5\), а \(\mathrm{E}Y_k = p\).
Несмещённость: капель \(d\), и \[\mathrm{E}\hat{a} = \frac{1}{d}(\mathrm{E}Y_1 + \mathrm{E}Y_2 + \ldots + \mathrm{E}Y_d) = \frac{1}{d} \cdot dp = p.\]
Состоятельность: дисперсия среднего арифметического в \(d\) раз меньше дисперсии одной величины \(Y_k\) и с ростом числа капель убывает до нуля, поэтому по закону больших чисел вероятность любого отличия оценки от \(p\) стремится к нулю.
Площадь фигуры \(a = 100p\) получается из доли умножением на площадь листа, а умножение на постоянный множитель обоих свойств не меняет: \(\mathrm{E}(100\hat{a}) = 100p = a\), и разброс по-прежнему убывает с ростом числа капель.
Ответ: предложенная оценка несмещённая и состоятельная.
На листе бумаги площадью \(100\) см\(^2\) нарисована фигура неправильной формы, площадь которой \(a\) и надо оценить. Лист побывал под дождём: \(d\) — общее число капель, попавших на лист (считаются все капли, в том числе упавшие вне фигуры), \(d_1\) — число капель внутри фигуры, \(d_2\) — число капель, легших на её границу. Предложена оценка \[\hat{a} = \frac{d_1 + 0{,}5d_2}{d}.\]
Обозначим \(p\) — долю площади листа, занятую фигурой. Тогда площадь фигуры равна \(a = 100p\) (см\(^2\)), и именно долю \(p\) оценивает записанная дробь.
Дождь кропит лист равномерно, капли падают независимо одна от другой, и место падения каждой капли не зависит от того, куда упали остальные. Поэтому для отдельной капли вероятность лечь внутрь фигуры равна той доле площади листа, которую фигура занимает, то есть \(p\).
Сопоставим \(k\)-й капле величину \(Y_k\): \(Y_k = 1\), если капля легла внутри фигуры, \(Y_k = 0{,}5\), если она легла на границу, и \(Y_k = 0\), если она вне фигуры. Тогда \(d_1 + 0{,}5d_2 = Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_d\), и предложенная оценка — это среднее арифметическое выборки \(Y_1\), \(Y_2\), …, \(Y_d\): \[\hat{a} = \frac{Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_d}{d}.\]
Вес \(0{,}5\) у граничной капли — не «половина капли»: такая капля накрывает контур, и внутри фигуры оказывается часть её площади, в среднем половина. Поэтому в среднем граничная капля и вносит в числитель \(0{,}5\), а математическое ожидание каждой величины \(Y_k\) равно доле площади, занятой фигурой: \(\mathrm{E}Y_k = p\).
Несмещённость: капель \(d\), и \[\mathrm{E}\hat{a} = \frac{1}{d}(\mathrm{E}Y_1 + \mathrm{E}Y_2 + \ldots + \mathrm{E}Y_d) = \frac{1}{d} \cdot dp = p.\]
Математическое ожидание оценки равно оцениваемой величине, значит, оценка несмещённая.
Состоятельность: капли падают независимо, поэтому дисперсия среднего арифметического в \(d\) раз меньше дисперсии одной величины \(Y_k\) и с ростом числа капель убывает до нуля. По закону больших чисел вероятность любого отличия оценки от \(p\) стремится к нулю, когда капель становится всё больше: чем сильнее промок лист, тем точнее оценка.
Сама площадь фигуры равна \(a = 100p\), то есть получается из доли умножением на площадь листа. Умножение на постоянный множитель обоих свойств не меняет: математическое ожидание умножается на тот же множитель (\(\mathrm{E}(100\hat{a}) = 100p = a\)), а разброс по-прежнему убывает с ростом числа капель.
Ответ: предложенная оценка несмещённая и состоятельная.
