Страница 215 номер 448, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Правильную монету бросают \(n\) раз, а \(\hat{p}\) — построенная по этой серии оценка вероятности выпадения орла, про которую известно лишь, что она состоятельная и несмещённая.
а) Монета правильная, поэтому \(p = 0{,}5\). Несмещённость означает \(\mathrm{E}\hat{p} = p\), значит, \(\mathrm{E}\hat{p} = 0{,}5\) — найти эту величину можно.
б) Дисперсию \(\mathrm{D}\hat{p}\) найти нельзя: состоятельных несмещённых оценок вероятности много, разброс у них разный, а какая именно оценка построена, не сказано.
Первая такая оценка — частота орла во всей серии \(\hat{p}_1 = \frac{I_1 + I_2 + \ldots + I_n}{n}\), где \(I_k = 1\), если в \(k\)-м броске выпал орёл, и \(I_k = 0\) иначе: она несмещённая и состоятельная, \(\mathrm{D}\hat{p}_1 = \frac{pq}{n} = \frac{0{,}25}{n}\), где \(q = 1 - p = 0{,}5\) — вероятность решки.
Вторая (при чётном \(n\)) — частота орла среди бросков с чётными номерами, а их \(\frac{n}{2}\): это частота в серии из \(\frac{n}{2}\) независимых бросков той же монеты, поэтому она тоже несмещённая и состоятельная (вместе с \(n\) неограниченно растёт и \(\frac{n}{2}\)), а \(\mathrm{D}\hat{p}_2 = \frac{2pq}{n} = \frac{0{,}5}{n}\).
Обе оценки удовлетворяют условию, а дисперсии у них отличаются вдвое.
Ответ: а) можно: \(\mathrm{E}\hat{p} = 0{,}5\); б) нельзя: данных недостаточно, ведь известно лишь, что оценка состоятельная и несмещённая, а у разных таких оценок дисперсии разные.
Правильную монету бросают \(n\) раз и по этой серии строят оценку \(\hat{p}\) вероятности выпадения орла. Известно только, что оценка состоятельная и несмещённая.
а) Монета правильная, поэтому вероятность выпадения орла равна \(p = 0{,}5\). Несмещённость оценки означает, что её математическое ожидание равно оцениваемому параметру: \(\mathrm{E}\hat{p} = p\). Значит, \(\mathrm{E}\hat{p} = 0{,}5\), и найти эту величину можно.
б) Дисперсию \(\mathrm{D}\hat{p}\) найти нельзя: состоятельных несмещённых оценок вероятности много, и разброс у них разный, а какая именно оценка построена, не сказано.
Вот две такие оценки (пусть для второй число бросков \(n\) чётно).
Первая — частота орла во всей серии: \(\hat{p}_1 = \frac{I_1 + I_2 + \ldots + I_n}{n}\), где \(I_k = 1\), если в \(k\)-м броске выпал орёл, и \(I_k = 0\) иначе. Она несмещённая и состоятельная, а её дисперсия равна \(\mathrm{D}\hat{p}_1 = \frac{pq}{n} = \frac{0{,}25}{n}\), где \(q = 1 - p = 0{,}5\) — вероятность выпадения решки.
Вторая — частота орла только среди бросков с чётными номерами; таких бросков \(\frac{n}{2}\). Это частота в серии из \(\frac{n}{2}\) независимых бросков той же монеты, поэтому она тоже несмещённая, и она состоятельная: вместе с \(n\) неограниченно растёт и \(\frac{n}{2}\). Её дисперсия равна \(\mathrm{D}\hat{p}_2 = \frac{2pq}{n} = \frac{0{,}5}{n}\).
Обе оценки удовлетворяют условию, а дисперсии у них отличаются вдвое. Значит, по одним лишь словам «состоятельная и несмещённая» дисперсию оценки определить невозможно.
Ответ: а) можно: \(\mathrm{E}\hat{p} = 0{,}5\); б) нельзя: данных недостаточно, ведь известно лишь, что оценка состоятельная и несмещённая, а у разных таких оценок дисперсии разные.
