Страница 215 номер 447, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Правильную восьмигранную кость бросают 100 раз; все восемь граней равновозможны, поэтому оцениваемая вероятность выпадения грани с цифрой 4 равна \(p = \frac{1}{8}\).
Состоятельная и несмещённая оценка — частота этой грани: \(\hat{p} = \frac{m}{100}\), где \(m\) — число бросков, в которых она выпала.
Частота есть среднее арифметическое выборки из индикаторов: \(I_k = 1\), если в \(k\)-м броске выпала грань с цифрой 4, и \(I_k = 0\) в противном случае, а при \(n\) бросках \(\hat{p} = \frac{I_1 + I_2 + \ldots + I_n}{n}\).
Несмещённость: \(\mathrm{E}I_k = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p\), где \(q = 1 - p\), поэтому \[\mathrm{E}\hat{p} = \frac{1}{n}(\mathrm{E}I_1 + \mathrm{E}I_2 + \ldots + \mathrm{E}I_n) = \frac{1}{n} \cdot np = p = \frac{1}{8}.\]
Состоятельность: броски независимы, поэтому \(\mathrm{D}\hat{p} = \frac{pq}{n} = \frac{7}{64n}\) — с ростом числа бросков разброс убывает, и \(\mathrm{P}(|\hat{p} - p| > a) \to 0\) для любого \(a > 0\) при \(n \to \infty\).
Ответ: годится частота выпадения грани с цифрой 4, то есть \(\hat{p} = \frac{m}{100}\), где \(m\) — число выпадений этой грани; оценка несмещённая, так как \(\mathrm{E}\hat{p} = p = \frac{1}{8}\), и состоятельная, так как её дисперсия \(\frac{pq}{n}\) с ростом числа бросков убывает до нуля.
Правильную восьмигранную игральную кость бросают 100 раз и оценивают вероятность выпадения грани с цифрой 4. У правильной кости все восемь граней равновозможны, поэтому оцениваемая вероятность равна \(p = \frac{1}{8}\).
Состоятельная и несмещённая оценка — частота выпадения этой грани: \(\hat{p} = \frac{m}{100}\), где \(m\) — число бросков, в которых выпала грань с цифрой 4.
Частота есть среднее арифметическое выборки из индикаторов. Положим \(I_k = 1\), если в \(k\)-м броске выпала грань с цифрой 4, и \(I_k = 0\) в противном случае; тогда при \(n\) бросках \(\hat{p} = \frac{I_1 + I_2 + \ldots + I_n}{n}\).
Несмещённость: \(\mathrm{E}I_k = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p\), где \(q = 1 - p\), поэтому \[\mathrm{E}\hat{p} = \frac{1}{n}(\mathrm{E}I_1 + \mathrm{E}I_2 + \ldots + \mathrm{E}I_n) = \frac{1}{n} \cdot np = p = \frac{1}{8}.\]
Математическое ожидание оценки равно оцениваемой вероятности, значит, оценка несмещённая.
Состоятельность: броски независимы, поэтому \(\mathrm{D}\hat{p} = \frac{pq}{n} = \frac{7}{64n}\) — с ростом числа бросков разброс оценки убывает, и по закону больших чисел \(\mathrm{P}(|\hat{p} - p| > a) \to 0\) для любого \(a > 0\) при \(n \to \infty\). Значит, оценка состоятельная. Состоятельность — свойство оценки при неограниченном росте числа бросков, поэтому довод ведётся для произвольного \(n\), а не для одного числа 100.
Ответ: годится частота выпадения грани с цифрой 4, то есть \(\hat{p} = \frac{m}{100}\), где \(m\) — число выпадений этой грани; оценка несмещённая, так как \(\mathrm{E}\hat{p} = p = \frac{1}{8}\), и состоятельная, так как её дисперсия \(\frac{pq}{n}\) с ростом числа бросков убывает до нуля.
