Страница 215 номер 446, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Оценивается математическое ожидание \(\mathrm{E}X\) случайной величины \(X\) — «сумма очков, выпавших при бросании двух игральных кубиков». У правильного кубика среднее число очков равно \(3{,}5\), поэтому \(\mathrm{E}X = 2 \cdot 3{,}5 = 7\). Дисперсия числа очков на одном кубике равна \(\frac{35}{12}\), кубики бросаются независимо, значит, \(\mathrm{D}X = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}\).

Пару кубиков бросили 20 раз. Выпали такие суммы очков: \[9;\ 6;\ 7;\ 5;\ 8;\ 7;\ 4;\ 11;\ 6;\ 10;\ 7;\ 3;\ 8;\ 6;\ 9;\ 5;\ 7;\ 12;\ 8;\ 6.\]

Сумма всех двадцати чисел равна \(144\). Через \(X_n\) обозначен результат последнего, \(n\)-го броска.

а) \(\hat{\theta} = X_1\) — сумма очков при первом броске. В этом опыте \(X_1 = 9\), и с ростом числа бросков оценка не меняется: её траектория — горизонтальная прямая на уровне 9.

Траектории всех трёх оценок: а), б), в).

Несмещённость: первый бросок ничем не отличается от остальных, поэтому \(\mathrm{E}X_1 = \mathrm{E}X = 7\). Оценка несмещённая.

Состоятельность: \(\mathrm{D}X_1 = \mathrm{D}X = \frac{35}{6}\) при любом числе бросков, а сама оценка от новых бросков не меняется вовсе. Разброс не убывает, поэтому вероятность отличия оценки от 7 больше чем на \(a\) к нулю не стремится. Оценка несостоятельная.

б) \(\hat{\theta} = \dfrac{X_1 + X_n}{2}\) — полусумма результатов первого и последнего бросков. При \(n = 2\) она равна \(\frac{9 + 6}{2} = 7{,}5\), при \(n = 12\) — \(\frac{9 + 3}{2} = 6\), при \(n = 20\) — \(\frac{9 + 6}{2} = 7{,}5\); всего её значения скачут между 6 и \(10{,}5\), потому что каждый новый бросок меняет оценку так же сильно, как первый.

Несмещённость: \(\mathrm{E}\left(\frac{X_1 + X_n}{2}\right) = \frac{1}{2}(\mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_n) = \frac{7 + 7}{2} = 7\). Оценка несмещённая.

Состоятельность: броски независимы, поэтому при \(n \geqslant 2\) дисперсия оценки равна \(\frac{1}{4}(\mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_n) = \frac{35}{12}\) — число, от числа бросков не зависящее. Разброс не убывает, и оценка несостоятельная.

в) \(\hat{\theta} = \overline{X}\) — среднее арифметическое всех значений. Точка траектории при данном \(n\) — среднее первых \(n\) сумм: при \(n = 1\) это \(9\), при \(n = 5\) — \(\frac{35}{5} = 7\), при \(n = 10\) — \(\frac{73}{10} = 7{,}3\), при \(n = 20\) — \(\frac{144}{20} = 7{,}2\).

Несмещённость: \(\mathrm{E}\overline{X} = \frac{1}{n}(\mathrm{E}X_1 + \ldots + \mathrm{E}X_n) = \frac{1}{n} \cdot 7n = 7\). Оценка несмещённая.

Состоятельность: броски независимы, поэтому \(\mathrm{D}\overline{X} = \frac{35}{6n}\) — разброс убывает с ростом числа бросков (при \(n = 20\) он равен уже \(\frac{35}{120} = \frac{7}{24}\)). По закону больших чисел \(\mathrm{P}(|\overline{X} - 7| > a) \to 0\) для любого \(a > 0\) при \(n \to \infty\). Оценка состоятельная.

К верному значению 7 приближается только третья оценка: с ростом числа бросков её значения всё меньше отходят от 7, и после тринадцатого броска они лежат между \(6{,}9\) и \(7{,}3\). Первая оценка так и осталась равной 9, а вторая скачет около 7, не подходя к нему ближе. Дело не в удачном опыте: в другой серии бросков ломаные пойдут иначе, но убывает разброс только у среднего арифметического, и приближаться к 7 будет снова только оно.

Ответ: к верному значению 7 приближается только третья оценка — среднее арифметическое всех бросков; несмещённые все три оценки, а состоятельная среди них только одна — выборочное среднее \(\overline{X}\).