Страница 214 номер 445, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Бросьте монетку 10 раз и отмечайте броски, когда выпал орёл. Оцените вероятность выпадения орла частотой. Постройте траекторию этой оценки при изменении числа бросков от 1 до 10.
Монету бросили 10 раз. Выпало: орёл, решка, решка, орёл, орёл, орёл, решка, орёл, решка, решка — всего 5 орлов.
\(\hat{p} = \frac{m}{n}\) — частота орла (\(n\) — число сделанных бросков, \(m\) — число орлов среди них); по всему опыту \(\hat{p} = \frac{5}{10} = 0{,}5\).
Точка траектории при данном \(n\) — частота орла в первых \(n\) бросках, а не результат \(n\)-го броска: \[1;\ \frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{2};\ \frac{3}{5};\ \frac{2}{3};\ \frac{4}{7};\ \frac{5}{8};\ \frac{5}{9};\ \frac{1}{2}.\]
Частота — среднее арифметическое выборки из индикаторов (\(I_k = 1\), если в \(k\)-м броске выпал орёл, и \(I_k = 0\) иначе): \(\hat{p} = \frac{I_1 + I_2 + \ldots + I_n}{n}\).
\(\mathrm{E}I_k = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p\) (здесь \(p\) — вероятность выпадения орла, \(q = 1 - p\)), поэтому \(\mathrm{E}\hat{p} = \frac{1}{n} \cdot np = p\) — оценка несмещённая.
Броски независимы, поэтому \(\mathrm{D}\hat{p} = \frac{pq}{n}\) — разброс убывает с ростом числа бросков, и по закону больших чисел частота приближается к вероятности: оценка состоятельная.
Оба свойства следуют из закона больших чисел, а не из этих десяти бросков: в другом опыте ломаная пойдёт иначе, а свойства останутся теми же.
Ответ: частота выпадения орла в проведённом опыте равна \(\hat{p} = \frac{5}{10} = 0{,}5\); частота является состоятельной и несмещённой оценкой вероятности выпадения орла.
Бросьте монетку 10 раз и отмечайте броски, когда выпал орёл. Оцените вероятность выпадения орла частотой. Постройте траекторию этой оценки при изменении числа бросков от 1 до 10.
Монету бросили 10 раз. Выпало: орёл, решка, решка, орёл, орёл, орёл, решка, орёл, решка, решка — всего 5 орлов.
Вероятность выпадения орла оценивается частотой: \(\hat{p} = \frac{m}{n}\), где \(n\) — число сделанных бросков, а \(m\) — число орлов среди них. По всему опыту \(\hat{p} = \frac{5}{10} = 0{,}5\).
Точка траектории при данном \(n\) — это частота орла в первых \(n\) бросках, а не результат \(n\)-го броска. Значения оценки при \(n\) от 1 до 10: \[1;\ \frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{2};\ \frac{3}{5};\ \frac{2}{3};\ \frac{4}{7};\ \frac{5}{8};\ \frac{5}{9};\ \frac{1}{2}.\]
Частота — среднее арифметическое выборки из индикаторов: \(I_k = 1\), если в \(k\)-м броске выпал орёл, и \(I_k = 0\) в противном случае, а \(\hat{p} = \frac{I_1 + I_2 + \ldots + I_n}{n}\). Поэтому \(\mathrm{E}I_k = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p\) (здесь \(p\) — вероятность выпадения орла, \(q = 1 - p\)) и \(\mathrm{E}\hat{p} = \frac{1}{n} \cdot np = p\) — оценка несмещённая. Броски независимы, поэтому \(\mathrm{D}\hat{p} = \frac{pq}{n}\): разброс убывает с ростом числа бросков, и по закону больших чисел частота приближается к вероятности — оценка состоятельная. У правильной монеты \(p = 0{,}5\), и именно к этому значению подтягивается ломаная.
Оба свойства следуют из закона больших чисел, а не из этих десяти бросков: в другом опыте ломаная пойдёт иначе, а свойства оценки останутся теми же.
Ответ: частота выпадения орла в проведённом опыте равна \(\hat{p} = \frac{5}{10} = 0{,}5\); частота является состоятельной и несмещённой оценкой вероятности выпадения орла.
