Страница 214 номер 444, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Оценивают средний рост \(\theta\) юношей в 11 классе. Это неизвестная постоянная величина — среднее значение роста во всей генеральной совокупности. Измеренные значения образуют выборку объёмом 5 (рост в сантиметрах): \[169;\ 173;\ 179;\ 181;\ 174.\]

В том же порядке значения обозначены \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), \(X_4\), \(X_5\), так что \(X_1 = 169\), а последнее наблюдение выборки объёмом \(n\) — это \(X_n\).

Наблюдения независимы и имеют одно и то же распределение — распределение роста в генеральной совокупности, поэтому \(\mathrm{E}X_k = \theta\) и \(\mathrm{D}X_k = d\) при каждом \(k\), где \(d\) — дисперсия роста в генеральной совокупности. Каждая оценка \(\hat{\theta}\) — случайная величина: её значение зависит от выборки.

Траектория оценки показывает, как меняется её значение с ростом объёма выборки \(n\) от 1 до 5; через \(X_n\) обозначено последнее наблюдение выборки объёмом \(n\). Истинное значение \(\theta\) неизвестно, поэтому траектория показывает поведение самой оценки, а вывод о её свойствах делается счётом.

а) \(\hat{\theta} = X_2\).

При \(n = 1\) такой оценки не существует: второго наблюдения ещё нет, и траектория начинается с \(n = 2\). При всех \(n \geqslant 2\) оценка равна \(173\) и с ростом выборки не меняется: \(173\); \(173\); \(173\); \(173\).

Несмещённость: второе измерение — такое же измерение, как и любое другое, поэтому \(\mathrm{E}X_2 = \theta\). Оценка несмещённая.

Состоятельность: \(\mathrm{D}X_2 = d\) при любом объёме выборки, и новые наблюдения на оценку не влияют вовсе. Разброс не убывает, поэтому вероятность отличия оценки от \(\theta\) больше чем на \(a\) с ростом \(n\) не уменьшается и к нулю не стремится. Оценка несостоятельная.

б) \(\hat{\theta} = \dfrac{X_1 + X_n}{2}\) — полусумма первого и последнего наблюдений.

\(n = 1\): \(\frac{169 + 169}{2} = 169\);

\(n = 2\): \(\frac{169 + 173}{2} = 171\);

\(n = 3\): \(\frac{169 + 179}{2} = 174\);

\(n = 4\): \(\frac{169 + 181}{2} = 175\);

\(n = 5\): \(\frac{169 + 174}{2} = 171{,}5\).

Несмещённость: \(\mathrm{E}\left(\frac{X_1 + X_n}{2}\right) = \frac{1}{2}(\mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_n) = \frac{1}{2}(\theta + \theta) = \theta\). Оценка несмещённая.

Состоятельность: наблюдения независимы, поэтому при \(n \geqslant 2\) дисперсия оценки равна \(\frac{1}{4}(\mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_n) = \frac{d}{2}\). Это число от объёма выборки не зависит: сколько наблюдений ни добавляй, разброс оценки остаётся прежним. Оценка несостоятельная.

в) \(\hat{\theta} = 2X_1 - X_n\).

\(n = 1\): \(2 \cdot 169 - 169 = 169\);

\(n = 2\): \(2 \cdot 169 - 173 = 165\);

\(n = 3\): \(338 - 179 = 159\);

\(n = 4\): \(338 - 181 = 157\);

\(n = 5\): \(338 - 174 = 164\).

Несмещённость: \(\mathrm{E}(2X_1 - X_n) = 2\mathrm{E}X_1 - \mathrm{E}X_n = 2\theta - \theta = \theta\). Оценка несмещённая, хотя её значения ушли далеко вниз от остальных.

Состоятельность: наблюдения независимы, поэтому при \(n \geqslant 2\) дисперсия оценки равна \(\mathrm{D}(2X_1 - X_n) = 4\mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_n = 5d\) — впятеро больше разброса одного измерения, и от объёма выборки она не зависит. Оценка несостоятельная.

г) \(\hat{\theta} = \overline{X}\) — среднее арифметическое всех наблюдений.

\(n = 1\): \(169\);

\(n = 2\): \(\frac{169 + 173}{2} = 171\);

\(n = 3\): \(\frac{521}{3} = 173\frac{2}{3}\);

\(n = 4\): \(\frac{702}{4} = 175{,}5\);

\(n = 5\): \(\frac{876}{5} = 175{,}2\).

Несмещённость: \(\mathrm{E}\overline{X} = \frac{1}{n}(\mathrm{E}X_1 + \ldots + \mathrm{E}X_n) = \frac{1}{n} \cdot n\theta = \theta\). Оценка несмещённая.

Состоятельность: наблюдения независимы, поэтому \(\mathrm{D}\overline{X} = \frac{d}{n}\) — разброс убывает с ростом объёма выборки. По закону больших чисел \(\mathrm{P}(|\overline{X} - \theta| > a) \to 0\) для любого \(a > 0\) при \(n \to \infty\). Оценка состоятельная.

Пяти наблюдений слишком мало, чтобы убывание разброса было видно на глаз, поэтому вывод о состоятельности делается не по виду ломаной, а по дисперсии оценки: у первых трёх оценок она постоянна, у выборочного среднего убывает как \(\frac{d}{n}\).

Ответ: все четыре оценки несмещённые, состоятельна только четвёртая: а) \(X_2\) — несмещённая, но несостоятельная; б) \(\frac{X_1 + X_n}{2}\) — несмещённая, но несостоятельная; в) \(2X_1 - X_n\) — несмещённая, но несостоятельная; г) \(\overline{X}\) — несмещённая и состоятельная.