Страница 214 номер 443, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Игральный кубик со смещённым центром тяжести бросают много раз и оценивают математическое ожидание числа очков. Обозначим \(X\) — «число очков, выпавшее при одном бросании этого кубика», а оцениваемый параметр — \(\mathrm{E}X = m\). Результаты бросков \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) независимы и имеют одно и то же распределение — распределение \(X\). Все шесть граней у такого кубика по-прежнему могут выпасть, но вероятности у них разные: смещённый центр тяжести нарушает равновесие противоположных граней, симметрии в распределении нет, и среднее число очков \(m\) у такого кубика от \(3{,}5\) отличается.

1) Последнее выпавшее число, то есть \(X_n\).

Несмещённость: последний бросок — такой же бросок, как и все остальные, поэтому \(\mathrm{E}X_n = \mathrm{E}X = m\). Оценка несмещённая.

Состоятельность: сколько бросков ни сделай, оценкой остаётся результат одного-единственного броска. Её распределение — распределение \(X\), и от числа бросков оно не зависит, поэтому вероятность отличия оценки от \(m\) больше чем на \(a\) при всех \(n\) одна и та же и нулю не равна. К нулю она не стремится — оценка несостоятельная.

2) Среднее арифметическое всех сделанных бросков, то есть выборочное среднее \(\overline{X}\).

Несмещённость: \(\mathrm{E}\overline{X} = \frac{1}{n}(\mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_2 + \ldots + \mathrm{E}X_n) = \frac{1}{n} \cdot nm = m\). Оценка несмещённая.

Состоятельность: броски независимы, поэтому \(\mathrm{D}\overline{X} = \frac{\mathrm{D}X}{n}\) — разброс оценки убывает с ростом числа бросков. По закону больших чисел \(\mathrm{P}(|\overline{X} - m| > a) \to 0\) для любого \(a > 0\) при \(n \to \infty\). Оценка состоятельная.

3) Наименьшее из чисел, выпавших при всех бросках.

Несмещённость: наименьшее из выпавших чисел не больше результата первого броска, а при двух и более бросках оно с положительной вероятностью строго меньше него. Значит, математическое ожидание этой оценки меньше \(\mathrm{E}X_1 = m\), и равенство \(m\) невозможно — оценка смещённая, причём она систематически занижает \(m\).

Состоятельность: вероятность того, что за \(n\) бросков единица не выпадет ни разу, с ростом \(n\) стремится к нулю. Значит, при большом числе бросков наименьшее почти наверняка равно 1, то есть оценка приближается не к \(m\), а к числу 1. Если взять \(a\) меньше, чем \(m - 1\), то вероятность отличия оценки от \(m\) больше чем на \(a\) стремится к единице, а не к нулю. Оценка несостоятельная.

4) Полусумма наименьшего и наибольшего из чисел, выпавших при всех бросках.

Состоятельность: вероятность того, что за \(n\) бросков ни разу не выпадет единица или ни разу не выпадет шестёрка, с ростом \(n\) стремится к нулю. Значит, при большом числе бросков наименьшее почти наверняка равно 1, наибольшее — 6, и оценка почти наверняка равна \(\frac{1 + 6}{2} = 3{,}5\). Она приближается к числу \(3{,}5\), а не к \(m\), — оценка несостоятельная.

Несмещённость: по той же причине при большом числе бросков математическое ожидание этой оценки близко к \(3{,}5\), а \(m\) от \(3{,}5\) отличается, поэтому равенства «математическое ожидание оценки равно \(m\)» нет — оценка смещённая. У правильного кубика симметрия давала бы \(3{,}5\) и для математического ожидания оценки, и для \(m\), и оценка оказалась бы несмещённой; у кубика со смещённым центром тяжести такой симметрии нет.

а) Несмещённые оценки — последнее выпавшее число и среднее арифметическое всех бросков: у обеих математическое ожидание равно \(m\).

б) Состоятельная оценка только одна — среднее арифметическое всех бросков: лишь у неё разброс убывает с ростом числа бросков, а остальные три либо вовсе не меняют своего распределения, либо уходят к числам 1 и \(3{,}5\).

Ответ: а) несмещённые оценки — последнее выпавшее число и среднее арифметическое всех сделанных бросков; б) состоятельная оценка — только среднее арифметическое всех сделанных бросков.