Вопросы после параграфа §44 на странице 214, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Выборочное среднее выборки \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) объёмом \(n\) — это её среднее арифметическое \(\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\). Наблюдения \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) — случайные величины, поэтому и выборочное среднее \(\overline{X}\) — случайная величина.

Первое свойство — несмещённость. Каждое наблюдение имеет то же распределение, что и вся генеральная совокупность, поэтому \(\mathrm{E}X_k = m\) при любом \(k\), где \(m\) — математическое ожидание генеральной совокупности. Значит, \[\mathrm{E}\overline{X} = \frac{1}{n}(\mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_2 + \ldots + \mathrm{E}X_n) = \frac{1}{n} \cdot nm = m.\]

Математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру — это и означает несмещённость.

Второе свойство — состоятельность: вероятность любого различия между оценкой и параметром стремится к нулю, то есть \(\mathrm{P}(|\overline{X} - m| > a) \to 0\) для любого \(a > 0\) при \(n \to \infty\). Это закон больших чисел: наблюдения независимы, поэтому дисперсия выборочного среднего равна \(\mathrm{D}\overline{X} = \frac{d}{n}\) (здесь \(d\) — дисперсия генеральной совокупности) и с ростом объёма выборки убывает.

Отдельно назван важный частный случай — частота. Частота события в серии одинаковых опытов есть среднее арифметическое выборки из индикаторов \(I_1\), \(I_2\), …, \(I_n\), где \(I_k = 1\), если в \(k\)-м опыте событие наступило, и \(I_k = 0\) в противном случае. Поэтому частота события является состоятельной и несмещённой оценкой вероятности этого события.

Ответ: выборочное среднее — случайная величина; оно является несмещённой (\(\mathrm{E}\overline{X} = m\)) и состоятельной оценкой среднего значения генеральной совокупности; частный случай — частота события как оценка его вероятности.

Выборочная дисперсия — это величина \[S_{\text{в}}^2 = \frac{(X_1 - \overline{X})^2 + (X_2 - \overline{X})^2 + \ldots + (X_n - \overline{X})^2}{n-1}.\]

От обычной дисперсии выборки \(S^2\) она отличается только знаменателем: у обычной в знаменателе \(n\), у выборочной \(n - 1\). Числители же одинаковы, поэтому \(S_{\text{в}}^2 = \frac{n}{n-1}S^2\). Как и выборочное среднее, это случайная величина: она зависит от выборки.

Обычная дисперсия выборки оценивает дисперсию \(d\) генеральной совокупности со смещением: \(\mathrm{E}S^2 = \frac{n-1}{n}d\), то есть в среднем она занижает \(d\). Множитель \(\frac{n}{n-1}\) это смещение устраняет: \[\mathrm{E}S_{\text{в}}^2 = \frac{n}{n-1} \cdot \mathrm{E}S^2 = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot d = d.\]

Значит, выборочная дисперсия — несмещённая оценка дисперсии генеральной совокупности. Кроме того, она состоятельная: с ростом объёма выборки вероятность любого её отличия от \(d\) стремится к нулю. Пользуются ею тогда, когда массив чисел не просто массив, а выборка из генеральной совокупности, дисперсию которой нужно оценить. Квадратный корень из выборочной дисперсии называют выборочным стандартным отклонением.

Ответ: выборочная дисперсия — случайная величина, состоятельная и несмещённая оценка дисперсии генеральной совокупности; от обычной дисперсии выборки она отличается знаменателем \(n - 1\) вместо \(n\).

У обеих дисперсий числитель один и тот же — сумма квадратов отклонений от среднего, а знаменатели разные: \(n\) и \(n - 1\). Поэтому \(S_{\text{в}}^2 = \frac{n}{n-1}S^2\), а множитель \(\frac{n}{n-1}\) больше единицы при любом \(n > 1\). Значит, выборочная дисперсия больше обычной. Совпадают они только тогда, когда все числа массива равны между собой: тогда обе равны нулю.

Пример: массив \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(5\). Его среднее равно \(3\), сумма квадратов отклонений равна \(4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10\), поэтому обычная дисперсия равна \(\frac{10}{5} = 2\), а выборочная — \(\frac{10}{4} = 2{,}5\).

Ответ: больше выборочная дисперсия, потому что \(S_{\text{в}}^2 = \frac{n}{n-1}S^2\), а множитель \(\frac{n}{n-1}\) больше единицы; равны они лишь в том случае, когда все данные массива одинаковы.

Точность и надёжность выборочной оценки среднего и дисперсии зависят от объёма выборки: чем больше наблюдений, тем меньше разброс оценки (например, \(\mathrm{D}\overline{X} = \frac{d}{n}\)). От объёма генеральной совокупности они не зависят вовсе.

Это значит, что нужная численность выборки одинакова и для небольших, и для огромных совокупностей: если нужная точность достигается опросом 2000 жителей города, в котором 100 тыс. жителей, то для такого же обследования города-миллионера хватит тех же 2000 респондентов.

Разумеется, сама выборка при этом должна быть случайной: у неслучайной выборки изучаемый признак может быть представлен непохоже на генеральную совокупность, и тогда об объёме говорить уже бессмысленно.

Ответ: от объёма самой выборки (и от того, случайна ли она); от объёма генеральной совокупности точность и надёжность выборочного исследования не зависят.

Ошибка в том, что объём выборки назначен долей генеральной совокупности. Нужный объём выборки определяется требуемой точностью и надёжностью и от объёма генеральной совокупности не зависит, поэтому доля здесь ничего не измеряет.

Видно это на числах. Девятиклассников в стране около 1,5 млн; 10—15 % от них — это 150—225 тыс. опрошенных, то есть огромная лишняя работа: той же надёжности достигли бы и несколько тысяч случайно выбранных школьников. Наоборот, если применить то же правило к одной школе, где девятиклассников 60, то выборка составит 6—9 человек, и никакого надёжного вывода по ней не сделать.

Ответ: ошибка в том, что объём выборки задан долей генеральной совокупности: нужный объём выборки от объёма генеральной совокупности не зависит, поэтому для всей страны 10—15 % — лишняя работа, а для отдельной школы такая доля даёт слишком маленькую выборку.

Нет, неверно. Несмещённость доказана для выборочной дисперсии: \(\mathrm{E}S_{\text{в}}^2 = d\). Выборочное же стандартное отклонение — это квадратный корень из выборочной дисперсии, а математическое ожидание через корень не проходит: среднее значение корня, вообще говоря, не равно корню из среднего значения.

Вот почему так. Пусть случайная величина \(Y\) принимает значения \(0\) и \(4\), каждое с вероятностью \(0{,}5\). Тогда \(\mathrm{E}Y = 0 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}5 = 2\), а математическое ожидание корня равно \(\mathrm{E}\sqrt{Y} = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}5 = 1\), и это не \(\sqrt{2}\). Выборочная дисперсия — тоже случайная величина, и корень из неё ведёт себя так же: его математическое ожидание, вообще говоря, отличается от \(\sqrt{d}\).

Пользоваться выборочным стандартным отклонением это не мешает: с ростом объёма выборки оно приближается к стандартному отклонению генеральной совокупности. Несмещённым оно при этом не становится.

Ответ: нет, неверно: несмещённая оценка — выборочная дисперсия, а корень из неё несмещённым уже не является, потому что математическое ожидание корня, вообще говоря, не равно корню из математического ожидания.