Страница 202 номер 437, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Бросание кубика \(n\) раз — серия одинаковых независимых испытаний Бернулли, успех — выпадение шестёрки, \(F\) — его частота; кубик считаем правильным, все шесть граней равновозможны: \(p = \frac{1}{6}\), \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\). Надо найти, при каком \(n\) вероятность события «частота выпадения шестёрки попадёт в интервал \(\left(\frac{1}{12};\ \frac{1}{4}\right)\)» будет не меньше чем \(0{,}95\).
Интервал симметричен относительно \(p = \frac{1}{6}\): \(\frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}\) и \(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\). Значит, нужное событие — это \(\left|F - \frac{1}{6}\right| < \frac{1}{12}\), и допустимое отклонение \(a = \frac{1}{12}\).
Перейдём к противоположному событию \(\left|F - \frac{1}{6}\right| \geqslant \frac{1}{12}\): его вероятность должна быть не более чем \(1 - 0{,}95 = 0{,}05\).
Вероятность успеха известна, поэтому берём оценку \(\frac{pq}{na^{2}}\); здесь \(pq = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}\), \(a^{2} = \frac{1}{144}\) и \(na^{2} = \frac{n}{144}\): \[\mathrm{P}\left(\left|F - \frac{1}{6}\right| \geqslant \frac{1}{12}\right) \leqslant \frac{5}{36} : \frac{n}{144} = \frac{5 \cdot 144}{36n} = \frac{20}{n}.\]
\[\frac{20}{n} \leqslant 0{,}05, \text{ откуда } n \geqslant \frac{20}{0{,}05} = 400.\]
Проверка: при \(n = 400\) дробь \(\frac{20}{400} = 0{,}05\), поэтому вероятность события \(\left|F - \frac{1}{6}\right| < \frac{1}{12}\) не меньше чем \(0{,}95\); при большем числе бросаний дробь только уменьшается, поэтому годится любое \(n \geqslant 400\).
Ответ: кубик надо бросить не менее 400 раз.
Кубик бросают \(n\) раз, успех — выпадение шестёрки. Нужно найти, при каком числе бросаний вероятность события «частота выпадения шестёрки попадёт в интервал \(\left(\frac{1}{12};\ \frac{1}{4}\right)\)» окажется не меньше чем \(0{,}95\).
Кубик считаем правильным, все шесть его граней равновозможны: \(p = \frac{1}{6}\) — вероятность выпадения шестёрки в одном бросании, \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\). Бросания образуют серию одинаковых независимых испытаний Бернулли, частота выпадения шестёрки \(F\) — доля бросаний, в которых выпала шестёрка.
Интервал \(\left(\frac{1}{12};\ \frac{1}{4}\right)\) симметричен относительно \(p = \frac{1}{6}\): \(\frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}\) и \(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}\). Значит, нужное событие — это \(\left|F - \frac{1}{6}\right| < \frac{1}{12}\), и допустимое отклонение \(a = \frac{1}{12}\).
Перейдём к противоположному событию \(\left|F - \frac{1}{6}\right| \geqslant \frac{1}{12}\): его вероятность должна быть не более чем \(1 - 0{,}95 = 0{,}05\). Вероятность успеха известна, поэтому берём неравенство Чебышёва для частоты успеха \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{pq}{na^{2}}\). Здесь \(pq = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}\) и \(a^{2} = \frac{1}{144}\), поэтому \(na^{2} = \frac{n}{144}\), а деление на дробь заменяем умножением на обратную: \[\mathrm{P}\left(\left|F - \frac{1}{6}\right| \geqslant \frac{1}{12}\right) \leqslant \frac{5}{36} : \frac{n}{144} = \frac{5 \cdot 144}{36n} = \frac{20}{n}.\]
Сделаем дробь \(\frac{20}{n}\) не больше чем \(0{,}05\): \[\frac{20}{n} \leqslant 0{,}05, \text{ откуда } n \geqslant \frac{20}{0{,}05} = 400.\]
Проверка: при \(n = 400\) получаем \(\frac{20}{400} = 0{,}05\), то есть вероятность события \(\left|F - \frac{1}{6}\right| \geqslant \frac{1}{12}\) не больше чем \(0{,}05\), а вероятность противоположного события \(\left|F - \frac{1}{6}\right| < \frac{1}{12}\) — не меньше чем \(0{,}95\), что и требовалось. При большем числе бросаний дробь \(\frac{20}{n}\) только уменьшается, поэтому годится любое \(n \geqslant 400\).
Ответ: кубик надо бросить не менее 400 раз.
