Страница 202 номер 436, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
\(n = 1000\) — число случайно выбранных образцов
\(a = 0{,}05\) — допустимое отклонение частоты брака от вероятности брака (5 %)
\(0{,}1\) — допустимая вероятность того, что отклонение окажется больше чем \(a\)
\(p\) — вероятность брака, неизвестна
Найти: достаточно ли взять 1000 образцов.
Решение:
Проверка 1000 случайно выбранных образцов — серия из \(n = 1000\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, успех — событие «образец бракованный», \(F\) — частота бракованных образцов среди проверенных.
Вероятность брака \(p\) неизвестна (контроль как раз для того и проводится, чтобы о ней судить), неизвестна и вероятность \(q = 1 - p\), поэтому в дробь \(\frac{pq}{na^{2}}\) подставить нечего и работает универсальная оценка \[\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{1}{4na^{2}},\] верная при любой вероятности успеха, потому что \(pq \leqslant \frac{1}{4}\).
\[\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant \frac{1}{4 \cdot 1000 \cdot 0{,}05^{2}} = \frac{1}{4 \cdot 1000 \cdot 0{,}0025} = \frac{1}{10} = 0{,}1.\]
Событие \(\left|F - p\right| > 0{,}05\) содержится в оценённом событии \(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}05\), поэтому его вероятность тем более не больше чем \(0{,}1\).
Требовалось «не больше чем \(0{,}1\)», а получилось ровно \(0{,}1\), то есть 1000 образцов достаточно. Запаса у оценки нет: при меньшем числе образцов дробь \(\frac{1}{4na^{2}}\) станет больше чем \(0{,}1\).
Ответ: да, достаточно: при 1000 случайно выбранных образцов универсальная оценка даёт \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant 0{,}1\), то есть ровно требуемую вероятность.
Дано:
\(n = 1000\) — число случайно выбранных образцов
\(a = 0{,}05\) — допустимое отклонение частоты брака от вероятности брака (5 %)
\(0{,}1\) — допустимая вероятность того, что отклонение окажется больше чем \(a\)
\(p\) — вероятность брака, неизвестна
Найти: достаточно ли взять 1000 образцов.
Решение:
Проверка 1000 случайно выбранных образцов — это серия из \(n = 1000\) испытаний Бернулли, в которой успех — событие «образец бракованный». Образцы выбираются из одной и той же продукции случайно и независимо друг от друга, поэтому испытания независимы и одинаковы: вероятность брака \(p\) в каждом из них одна и та же. Частота бракованных образцов \(F\) — это доля бракованных среди проверенных.
Требуется, чтобы событие «частота бракованных образцов отличается от вероятности брака больше чем на 5 %» имело вероятность не больше чем \(0{,}1\). Пять процентов — это \(0{,}05\), поэтому речь идёт о событии \(\left|F - p\right| > 0{,}05\), и допустимое отклонение \(a = 0{,}05\).
Вероятность брака \(p\) неизвестна: контроль как раз для того и проводится, чтобы о ней судить. Неизвестна тогда и вероятность \(q = 1 - p\) того, что образец годный, поэтому в дробь \(\frac{pq}{na^{2}}\) подставить нечего, и работает универсальная оценка \[\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{1}{4na^{2}},\] верная при любой вероятности успеха, потому что \(pq \leqslant \frac{1}{4}\).
Подставим \(n = 1000\) и \(a = 0{,}05\): \[\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant \frac{1}{4 \cdot 1000 \cdot 0{,}05^{2}} = \frac{1}{4 \cdot 1000 \cdot 0{,}0025} = \frac{1}{10} = 0{,}1.\]
Неравенство оценило событие \(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}05\), а нас интересует событие \(\left|F - p\right| > 0{,}05\). Второе содержится в первом, поэтому его вероятность тем более не больше чем \(0{,}1\).
Требовалось «не больше чем \(0{,}1\)», а получилось ровно \(0{,}1\), то есть требование выполнено и 1000 образцов достаточно. Оценка при этом граничная, запаса у неё нет: при меньшем числе образцов дробь \(\frac{1}{4na^{2}}\) станет больше чем \(0{,}1\), и требуемой надёжности она уже не обеспечит.
Ответ: да, достаточно: при 1000 случайно выбранных образцов универсальная оценка даёт \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant 0{,}1\), то есть ровно требуемую вероятность.
