Страница 202 номер 435, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Игральный кубик бросают 100 раз. Оцените вероятность события «частота выпадения шестёрки попадёт в интервал \(\left(\dfrac{1}{12};\ \dfrac{1}{4}\right)\)».
Бросание кубика 100 раз — серия из \(n = 100\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, успех — выпадение шестёрки, \(F\) — его частота; кубик считаем правильным, все шесть граней равновозможны: \(p = \frac{1}{6}\), \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\).
Интервал \(\left(\frac{1}{12};\ \frac{1}{4}\right)\) симметричен относительно \(p = \frac{1}{6}\): \(\frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}\) и \(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\). Значит, попадание частоты в интервал — это событие \(\left|F - \frac{1}{6}\right| < \frac{1}{12}\), и допустимое отклонение \(a = \frac{1}{12}\).
Вероятность успеха известна: \(pq = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}\), \(a^{2} = \left(\frac{1}{12}\right)^{2} = \frac{1}{144}\), поэтому \(na^{2} = 100 \cdot \frac{1}{144} = \frac{100}{144}\).
Неравенство Чебышёва оценивает сверху вероятность большого отклонения, поэтому оценим сначала противоположное событие — непопадание частоты в интервал: \[\mathrm{P}\left(\left|F - \frac{1}{6}\right| \geqslant \frac{1}{12}\right) \leqslant \frac{pq}{na^{2}} = \frac{5}{36} : \frac{100}{144} = \frac{5}{36} \cdot \frac{144}{100} = \frac{5 \cdot 4}{100} = 0{,}2.\]
Попадание частоты в интервал — противоположное событие: \[\mathrm{P}\left(\left|F - \frac{1}{6}\right| < \frac{1}{12}\right) \geqslant 1 - 0{,}2 = 0{,}8.\]
Ответ: вероятность события «частота выпадения шестёрки попадёт в интервал \(\left(\frac{1}{12};\ \frac{1}{4}\right)\)» не менее чем \(0{,}8\).
Игральный кубик бросают 100 раз. Оцените вероятность события «частота выпадения шестёрки попадёт в интервал \(\left(\dfrac{1}{12};\ \dfrac{1}{4}\right)\)».
Бросание кубика 100 раз — это серия из \(n = 100\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, в которой успех — выпадение шестёрки. Кубик считаем правильным, все шесть его граней равновозможны: \(p = \frac{1}{6}\) — вероятность выпадения шестёрки в одном бросании, \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\). Частота выпадения шестёрки \(F\) — это доля бросаний, в которых выпала шестёрка.
Интервал \(\left(\frac{1}{12};\ \frac{1}{4}\right)\) симметричен относительно \(p = \frac{1}{6}\): \(\frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}\) и \(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}\). Обе разности равны \(\frac{1}{12}\), поэтому попадание частоты в интервал — это событие \(\left|F - \frac{1}{6}\right| < \frac{1}{12}\), а допустимое отклонение \(a = \frac{1}{12}\).
Неравенство Чебышёва для частоты успеха оценивает сверху вероятность большого отклонения: \(\mathrm{P}\left(\left|F - p\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{pq}{na^{2}}\). Поэтому оценим сначала вероятность противоположного события \(\left|F - \frac{1}{6}\right| \geqslant \frac{1}{12}\) — того, что частота в интервал не попадёт. Вероятность успеха известна, и \(pq = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}\), \(a^{2} = \left(\frac{1}{12}\right)^{2} = \frac{1}{144}\), поэтому \(na^{2} = 100 \cdot \frac{1}{144} = \frac{100}{144}\). Деление на дробь заменяем умножением на обратную: \[\mathrm{P}\left(\left|F - \frac{1}{6}\right| \geqslant \frac{1}{12}\right) \leqslant \frac{5}{36} : \frac{100}{144} = \frac{5}{36} \cdot \frac{144}{100} = \frac{5 \cdot 4}{100} = 0{,}2.\]
Событие «частота выпадения шестёрки попадёт в интервал \(\left(\frac{1}{12};\ \frac{1}{4}\right)\)» противоположно оценённому, поэтому его вероятность не меньше чем \(1 - 0{,}2\): \[\mathrm{P}\left(\left|F - \frac{1}{6}\right| < \frac{1}{12}\right) \geqslant 1 - 0{,}2 = 0{,}8.\]
Ответ: вероятность события «частота выпадения шестёрки попадёт в интервал \(\left(\frac{1}{12};\ \frac{1}{4}\right)\)» не менее чем \(0{,}8\).
