Страница 199 номер 432, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(X\) — масса одной буханки хлеба
\(m = \mathrm{E}X = 400\) г — математическое ожидание массы буханки
\(\sqrt{\mathrm{D}X} = 10\) г — стандартное отклонение массы буханки
\(n = 50\) — число взвешенных буханок
\(a = 5\) г — граница отклонения среднего арифметического
Найти: нижнюю оценку вероятности того, что среднее арифметическое масс 50 буханок отличается от 400 г не более чем на 5 г.
Решение:

Дисперсия — квадрат стандартного отклонения, поэтому \(\mathrm{D}X = 10^2 = 100\) (единицы измерения при вычислении дисперсии не указывают).

Массы взвешенных буханок — случайные величины \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_{50}\). Буханки пекут и взвешивают независимо друг от друга, а масса каждой из них имеет то же распределение, что и величина \(X\). Значит, эти величины независимы и одинаково распределены: \(\mathrm{E}X_k = 400\) г и \(\mathrm{D}X_k = 100\) при каждом номере \(k\).

Среднее арифметическое масс взвешенных буханок — случайная величина \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_{50}}{50}\). Отклонение считается от среднего значения массы, то есть от математического ожидания 400 г; математическое ожидание самого среднего арифметического равно тому же числу: \(\mathrm{E}\bar{X} = 400\) г.

Дисперсия среднего арифметического \(n\) независимых одинаково распределённых величин в \(n\) раз меньше дисперсии одного наблюдения: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}\bar{X} = \mathrm{D}\left(\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_{50}}{50}\right) = {} \\ &= \frac{1}{50^2}\left(\mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_2 + \ldots + \mathrm{D}X_{50}\right) = \frac{1}{50^2} \cdot 50 \cdot 100 = \frac{100}{50} = 2. \end{aligned}\]

У величины \(\bar{X}\) есть и математическое ожидание, и дисперсия, поэтому к ней применимо неравенство Чебышёва. При \(a = 5\) оно даёт верхнюю оценку вероятности большого отклонения: \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - 400\right| \geqslant 5\right) \leqslant \frac{\mathrm{D}\bar{X}}{a^2} = \frac{2}{5^2} = \frac{2}{25} = 0{,}08.\]

Событие \(\left|\bar{X} - 400\right| < 5\) противоположно событию \(\left|\bar{X} - 400\right| \geqslant 5\), поэтому его вероятность не меньше чем \(1 - 0{,}08\): \[\mathrm{P}\left(\left|\bar{X} - 400\right| < 5\right) \geqslant 1 - 0{,}08 = 0{,}92.\]

Отклонение не более чем на 5 г — это событие \(\left|\bar{X} - 400\right| \leqslant 5\). Оно содержит событие \(\left|\bar{X} - 400\right| < 5\), поэтому его вероятность тем более не меньше 0,92.

Ответ: вероятность того, что среднее арифметическое масс 50 буханок отклоняется от 400 г не более чем на 5 г, не менее 0,92.