Страница 89 номер 163, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(A\) «кофе закончится в первом автомате», \(\mathrm{P}(A) = 0{,}15\)
\(B\) «кофе закончится во втором автомате», \(\mathrm{P}(B) = 0{,}2\)
\(\mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}05\)

Найти: вероятность того, что кофе останется: а) только в одном из двух автоматов; б) только в первом автомате.

Решение:

Кофе остаётся в автомате тогда и только тогда, когда он в нём не заканчивается, поэтому событие «кофе останется в первом автомате» — это \(\overline{A}\), а событие «кофе останется во втором автомате» — это \(\overline{B}\).

а) Кофе останется только в одном автомате, если в этом автомате он не закончился, а в другом закончился. Это объединение двух несовместных событий: \(\overline{A} \cap B\) (кофе остался только в первом автомате) и \(A \cap \overline{B}\) (кофе остался только во втором автомате).

Каждый исход, благоприятствующий событию \(B\), либо благоприятствует событию \(A\), либо не благоприятствует ему, поэтому \(B\) — объединение несовместных событий \(A \cap B\) и \(\overline{A} \cap B\), а значит, \(\mathrm{P}(\overline{A} \cap B) = 0{,}2 - 0{,}05 = 0{,}15\). Точно так же \(A\) — объединение несовместных событий \(A \cap B\) и \(A \cap \overline{B}\), откуда \(\mathrm{P}(A \cap \overline{B}) = 0{,}15 - 0{,}05 = 0{,}1\). По формуле сложения вероятностей для несовместных событий искомая вероятность равна \[0{,}15 + 0{,}1 = 0{,}25.\]

б) Событие «кофе останется только в первом автомате» — это \(\overline{A} \cap B\): в первом автомате кофе не закончился, а во втором закончился. Из разбиения события \(B\) на несовместные события \(A \cap B\) и \(\overline{A} \cap B\) получаем \[\mathrm{P}(\overline{A} \cap B) = 0{,}2 - 0{,}05 = 0{,}15.\]

Ответ: а) \(0{,}25\); б) \(0{,}15\).