Страница 89 номер 162, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(A\) «первый мастер занят», \(\mathrm{P}(A) = 0{,}6\)
\(B\) «второй мастер занят», \(\mathrm{P}(B) = 0{,}6\)
\(\overline{A} \cap \overline{B}\) «оба мастера свободны», \(\mathrm{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}18\)

Найти: вероятность того, что а) занят только один из двух мастеров; б) оба мастера заняты.

Решение:

Событию \(\overline{A} \cap \overline{B}\) благоприятствуют исходы, при которых не наступает ни событие \(A\), ни событие \(B\), то есть исходы, не благоприятствующие событию \(A \cup B\) «занят хотя бы один мастер». Значит, эти два события противоположны, и \[\mathrm{P}(A \cup B) = 1 - 0{,}18 = 0{,}82.\]

По формуле сложения вероятностей \(\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)\), откуда \[\mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}6 + 0{,}6 - 0{,}82 = 0{,}38.\]

а) Событие «занят только один из двух мастеров» — объединение двух несовместных событий: \(A \cap \overline{B}\) (первый мастер занят, второй свободен) и \(\overline{A} \cap B\) (второй занят, первый свободен).

Каждый исход, благоприятствующий событию \(A\), либо благоприятствует событию \(B\), либо не благоприятствует ему, поэтому \(A\) — объединение несовместных событий \(A \cap B\) и \(A \cap \overline{B}\), а значит, \(\mathrm{P}(A \cap \overline{B}) = 0{,}6 - 0{,}38 = 0{,}22\). Точно так же \(\mathrm{P}(\overline{A} \cap B) = 0{,}6 - 0{,}38 = 0{,}22\). По формуле сложения вероятностей для несовместных событий искомая вероятность равна \[0{,}22 + 0{,}22 = 0{,}44.\]

б) Событие «оба мастера заняты» — это пересечение \(A \cap B\), его вероятность \(0{,}38\).

Проверка: события «занят только один мастер», «оба мастера заняты» и «оба мастера свободны» попарно несовместны, а их объединение — достоверное событие, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Действительно, \(0{,}44 + 0{,}38 + 0{,}18 = 1\).

Ответ: а) \(0{,}44\); б) \(0{,}38\).