Страница 89 номер 159, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(\mathrm{P}(C \cup D) + \mathrm{P}(C \cap D) = \mathrm{P}(C) + \mathrm{P}(D) = 1{,}4\). Сумма больше 1, поэтому крайние оценки другие: объединение не может превзойти 1, а пересечение не может оказаться невозможным событием.
Событие \(C\) — объединение несовместных событий \(C \cap D\) и \(C \cap \overline{D}\), поэтому \(\mathrm{P}(C) = \mathrm{P}(C \cap D) + \mathrm{P}(C \cap \overline{D})\), а вероятность неотрицательна, значит, \(\mathrm{P}(C \cap D) \leqslant \mathrm{P}(C) = 0{,}6\).
Достижимость границ показывает такой опыт: в ящике десять шаров с номерами от 1 до 10, наугад вынимают один, все десять исходов равновозможны.
а) Вероятность любого события не больше 1, поэтому \(\mathrm{P}(C \cup D) \leqslant 1\).
Значение 1 достигается у событий \(C\) «номер шара не больше 6» и \(D\) «номер шара не меньше 3»: \(\mathrm{P}(C) = \frac{6}{10} = 0{,}6\), \(\mathrm{P}(D) = \frac{8}{10} = 0{,}8\), а объединению благоприятствует каждый из десяти номеров, и \(\mathrm{P}(C \cup D) = 1\).
б) Из \(\mathrm{P}(C \cup D) = 1{,}4 - \mathrm{P}(C \cap D)\) и \(\mathrm{P}(C \cap D) \leqslant 0{,}6\) следует \(\mathrm{P}(C \cup D) \geqslant 1{,}4 - 0{,}6 = 0{,}8\).
Значение \(0{,}8\) достигается у событий \(C\) «номер шара не больше 6» и \(D\) «номер шара не больше 8»: \(C \subset D\), объединению благоприятствуют те же восемь номеров, что и событию \(D\).
в) Вероятность пересечения не больше \(\mathrm{P}(C) = 0{,}6\), и это значение достигается у событий \(C\) «номер шара не больше 6» и \(D\) «номер шара не больше 8»: пересечению благоприятствуют номера от 1 до 6, то есть \(C \cap D = C\).
г) Из \(\mathrm{P}(C \cap D) = 1{,}4 - \mathrm{P}(C \cup D)\) и \(\mathrm{P}(C \cup D) \leqslant 1\) следует \(\mathrm{P}(C \cap D) \geqslant 1{,}4 - 1 = 0{,}4\).
Значение \(0{,}4\) достигается у событий \(C\) «номер шара не больше 6» и \(D\) «номер шара не меньше 3»: пересечению благоприятствуют номера 3, 4, 5, 6, и \(\mathrm{P}(C \cap D) = \frac{4}{10} = 0{,}4\).
Ответ: а) наибольшая вероятность объединения — \(1\); б) наименьшая вероятность объединения — \(0{,}8\); в) наибольшая вероятность пересечения — \(0{,}6\); г) наименьшая вероятность пересечения — \(0{,}4\).
Вероятности объединения и пересечения связаны формулой сложения вероятностей: \(\mathrm{P}(C \cup D) + \mathrm{P}(C \cap D) = \mathrm{P}(C) + \mathrm{P}(D) = 1{,}4\). Сумма вероятностей больше 1, и это меняет крайние оценки: вероятность объединения не может превзойти 1, а пересечение не может оказаться невозможным событием.
Каждый исход, благоприятствующий событию \(C\), либо благоприятствует событию \(D\), либо не благоприятствует ему, поэтому \(C\) — объединение двух несовместных событий \(C \cap D\) и \(C \cap \overline{D}\), а значит, \(\mathrm{P}(C) = \mathrm{P}(C \cap D) + \mathrm{P}(C \cap \overline{D})\). Вероятность неотрицательна, поэтому \(\mathrm{P}(C \cap D) \leqslant \mathrm{P}(C) = 0{,}6\).
Чтобы показать, что границы достигаются, годится такой опыт: в ящике десять одинаковых шаров с номерами от 1 до 10, наугад вынимают один шар. Все десять исходов равновозможны, и вероятность события равна числу благоприятствующих ему номеров, делённому на 10.
а) Вероятность любого события не больше 1, поэтому \(\mathrm{P}(C \cup D) \leqslant 1\). Значение 1 достигается: пусть \(C\) «номер шара не больше 6», \(D\) «номер шара не меньше 3». Тогда \(\mathrm{P}(C) = \frac{6}{10} = 0{,}6\) и \(\mathrm{P}(D) = \frac{8}{10} = 0{,}8\), а объединению благоприятствует каждый из десяти номеров, поэтому \(\mathrm{P}(C \cup D) = 1\).
б) Из равенства \(\mathrm{P}(C \cup D) = 1{,}4 - \mathrm{P}(C \cap D)\) и оценки \(\mathrm{P}(C \cap D) \leqslant 0{,}6\) следует, что \(\mathrm{P}(C \cup D) \geqslant 1{,}4 - 0{,}6 = 0{,}8\). Значение \(0{,}8\) достигается, когда событие \(C\) входит в событие \(D\): пусть \(C\) «номер шара не больше 6», \(D\) «номер шара не больше 8». Тогда \(C \subset D\), объединению благоприятствуют те же восемь номеров, что и событию \(D\), и \(\mathrm{P}(C \cup D) = 0{,}8\).
в) Вероятность пересечения не больше \(\mathrm{P}(C) = 0{,}6\). Значение \(0{,}6\) достигается, когда событие \(C\) входит в событие \(D\): у событий \(C\) «номер шара не больше 6» и \(D\) «номер шара не больше 8» пересечению благоприятствуют номера от 1 до 6, то есть \(C \cap D = C\) и \(\mathrm{P}(C \cap D) = 0{,}6\).
г) Из равенства \(\mathrm{P}(C \cap D) = 1{,}4 - \mathrm{P}(C \cup D)\) и оценки \(\mathrm{P}(C \cup D) \leqslant 1\) следует, что \(\mathrm{P}(C \cap D) \geqslant 1{,}4 - 1 = 0{,}4\). Значение \(0{,}4\) достигается у событий \(C\) «номер шара не больше 6» и \(D\) «номер шара не меньше 3»: пересечению благоприятствуют номера 3, 4, 5, 6, и \(\mathrm{P}(C \cap D) = \frac{4}{10} = 0{,}4\).
Ответ: а) наибольшая вероятность объединения — \(1\); б) наименьшая вероятность объединения — \(0{,}8\); в) наибольшая вероятность пересечения — \(0{,}6\); г) наименьшая вероятность пересечения — \(0{,}4\).
