Страница 88 номер 158, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава III. Случайные эксперименты и случайные события. §18. Формула сложения вероятностей. Страница 88. Номер 158

Решение:

\(\mathrm{P}(A \cup B) + \mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) = 0{,}8\).

Событие \(B\) — объединение несовместных событий \(A \cap B\) и \(\overline{A} \cap B\), поэтому \(\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(\overline{A} \cap B)\), а вероятность неотрицательна: \[0 \leqslant \mathrm{P}(A \cap B) \leqslant \mathrm{P}(B) = 0{,}2.\]

Достижимость границ показывает такой опыт: в ящике десять шаров с номерами от 1 до 10, наугад вынимают один, все десять исходов равновозможны.

а) Из \(\mathrm{P}(A \cup B) = 0{,}8 - \mathrm{P}(A \cap B)\) и \(\mathrm{P}(A \cap B) \geqslant 0\) следует, что \(\mathrm{P}(A \cup B) \leqslant 0{,}8\).

Значение \(0{,}8\) достигается у несовместных событий \(A\) «номер шара не больше 6» и \(B\) «номер шара равен 7 или 8»: \(\mathrm{P}(A) = \frac{6}{10} = 0{,}6\), \(\mathrm{P}(B) = \frac{2}{10} = 0{,}2\), общих исходов нет, объединению благоприятствуют восемь номеров, и \(\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{8}{10} = 0{,}8\).

б) Из того же равенства и оценки \(\mathrm{P}(A \cap B) \leqslant 0{,}2\) следует \(\mathrm{P}(A \cup B) \geqslant 0{,}8 - 0{,}2 = 0{,}6\).

Значение \(0{,}6\) достигается у событий \(A\) «номер шара не больше 6» и \(B\) «номер шара не больше 2»: \(B \subset A\), объединению благоприятствуют те же шесть номеров, что и событию \(A\).

в) Вероятность пересечения не больше \(\mathrm{P}(B) = 0{,}2\), и это значение достигается у событий \(A\) «номер шара не больше 6» и \(B\) «номер шара не больше 2»: пересечению благоприятствуют номера 1 и 2, то есть \(A \cap B = B\).

г) Вероятность пересечения неотрицательна, а нуля достигает у несовместных событий \(A\) «номер шара не больше 6» и \(B\) «номер шара равен 7 или 8»: пересечение — невозможное событие, и \(\mathrm{P}(A \cap B) = 0\).

Ответ: а) наибольшая вероятность объединения — \(0{,}8\); б) наименьшая вероятность объединения — \(0{,}6\); в) наибольшая вероятность пересечения — \(0{,}2\); г) наименьшая вероятность пересечения — \(0\).

Решение:

Вероятности объединения и пересечения связаны формулой сложения вероятностей: \(\mathrm{P}(A \cup B) + \mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) = 0{,}8\). Чем больше вероятность пересечения, тем меньше вероятность объединения, и наоборот.

Каждый исход, благоприятствующий событию \(B\), либо благоприятствует событию \(A\), либо не благоприятствует ему, поэтому \(B\) — объединение двух несовместных событий \(A \cap B\) и \(\overline{A} \cap B\), а значит, \(\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(\overline{A} \cap B)\). Вероятность неотрицательна, поэтому \[0 \leqslant \mathrm{P}(A \cap B) \leqslant \mathrm{P}(B) = 0{,}2.\]

Чтобы показать, что границы достигаются, годится такой опыт: в ящике десять одинаковых шаров с номерами от 1 до 10, наугад вынимают один шар. Все десять исходов равновозможны, и вероятность события равна числу благоприятствующих ему номеров, делённому на 10.

а) Из равенства \(\mathrm{P}(A \cup B) = 0{,}8 - \mathrm{P}(A \cap B)\) и неравенства \(\mathrm{P}(A \cap B) \geqslant 0\) следует, что \(\mathrm{P}(A \cup B) \leqslant 0{,}8\). Значение \(0{,}8\) достигается у несовместных событий: пусть \(A\) «номер шара не больше 6», \(B\) «номер шара равен 7 или 8». Тогда \(\mathrm{P}(A) = \frac{6}{10} = 0{,}6\) и \(\mathrm{P}(B) = \frac{2}{10} = 0{,}2\), общих исходов у событий нет, а объединению благоприятствуют восемь номеров: \(\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{8}{10} = 0{,}8\).

б) Из того же равенства и оценки \(\mathrm{P}(A \cap B) \leqslant 0{,}2\) следует, что \(\mathrm{P}(A \cup B) \geqslant 0{,}8 - 0{,}2 = 0{,}6\). Значение \(0{,}6\) достигается, когда событие \(B\) входит в событие \(A\): пусть \(A\) «номер шара не больше 6», \(B\) «номер шара не больше 2». Тогда \(B \subset A\), объединению благоприятствуют те же шесть номеров, что и событию \(A\), и \(\mathrm{P}(A \cup B) = 0{,}6\).

в) Вероятность пересечения не больше \(\mathrm{P}(B) = 0{,}2\). Значение \(0{,}2\) достигается, когда событие \(B\) входит в событие \(A\): у событий \(A\) «номер шара не больше 6» и \(B\) «номер шара не больше 2» пересечению благоприятствуют номера 1 и 2, то есть \(A \cap B = B\) и \(\mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}2\).

г) Вероятность пересечения неотрицательна, а нуля она достигает у несовместных событий: у событий \(A\) «номер шара не больше 6» и \(B\) «номер шара равен 7 или 8» общих исходов нет, их пересечение — невозможное событие, и \(\mathrm{P}(A \cap B) = 0\).