Страница 84 номер 150, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Бросают одновременно 3 игральных кубика. Найдите вероятность события: а) «хотя бы на одной из костей выпало менее трёх очков»; б) «среди выпавших очков есть числа 1 и 5».
Кубики различимы, поэтому исход — тройка чисел, выпавших на первом, втором и третьем кубике. Кубики правильные, все тройки равновозможны, и их \(n = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\).
а) Событие \(\overline{A}\) означает, что на каждом кубике выпало 3, 4, 5 или 6 очков — по четыре возможности на кубик, поэтому \(n(\overline{A}) = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\) и \(n(A) = 216 - 64 = 152\), откуда \[\mathrm{P}(A) = \frac{152}{216} = \frac{19}{27} \approx 0{,}704.\]
б) Единица и пятёрка занимают два места из трёх, поэтому на третьем месте стоит либо число, отличное от 1 и от 5, либо ещё одна единица, либо ещё одна пятёрка.
Единица, пятёрка и третье число (2, 3, 4 или 6): единица может выпасть на любом из трёх кубиков, пятёрка — на любом из двух оставшихся, поэтому при каждом значении третьего числа \(3 \cdot 2 = 6\) исходов, а всего \(4 \cdot 6 = 24\) исхода.
Две единицы и пятёрка: пятёрка на любом из трёх кубиков — 3 исхода.
Две пятёрки и единица: точно так же 3 исхода.
Наборы выпавших чисел в этих случаях разные, поэтому \(n(B) = 24 + 3 + 3 = 30\) и \[\mathrm{P}(B) = \frac{30}{216} = \frac{5}{36} \approx 0{,}139.\]
Ответ: а) \(\dfrac{19}{27} \approx 0{,}704\); б) \(\dfrac{5}{36} \approx 0{,}139\).
Бросают одновременно 3 игральных кубика. Найдите вероятность события: а) «хотя бы на одной из костей выпало менее трёх очков»; б) «среди выпавших очков есть числа 1 и 5».
Кубики бросают одновременно, но они различимы, поэтому сопоставим каждому исходу тройку чисел, указывающую, сколько очков выпало на первом, на втором и на третьем кубике. Кубики правильные, все такие тройки равновозможны, и их \(n = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\).
а) Обозначим \(A\) «хотя бы на одной из костей выпало менее трёх очков». Противоположное событие \(\overline{A}\) означает, что менее трёх очков не выпало ни на одном кубике, то есть на каждом кубике выпало 3, 4, 5 или 6 очков. Для каждого кубика здесь по четыре возможности, поэтому \(n(\overline{A}) = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\). Событию \(A\) благоприятствуют все остальные исходы: \(n(A) = 216 - 64 = 152\), поэтому \[\mathrm{P}(A) = \frac{152}{216} = \frac{19}{27} \approx 0{,}704.\]
б) Обозначим \(B\) «среди выпавших очков есть числа 1 и 5»: на одном из кубиков выпала единица, а на другом — пятёрка. Чисел в тройке три, единица и пятёрка занимают два места, поэтому на третьем месте стоит либо число, отличное от 1 и от 5, либо ещё одна единица, либо ещё одна пятёрка. Разберём эти три случая.
Единица, пятёрка и третье число, отличное от них. Третье число принимает 4 значения: 2, 3, 4 или 6. Единица может выпасть на любом из трёх кубиков, пятёрка — на любом из двух оставшихся, а третье число достаётся последнему кубику, поэтому при каждом значении третьего числа получается \(3 \cdot 2 = 6\) исходов, а всего \(4 \cdot 6 = 24\) исхода.
Две единицы и пятёрка. Пятёрка может выпасть на любом из трёх кубиков, на двух других выпадают единицы: 3 исхода.
Две пятёрки и единица. Точно так же 3 исхода.
Исходы этих трёх случаев различны — они отличаются набором выпавших чисел, — значит, \(n(B) = 24 + 3 + 3 = 30\) и \[\mathrm{P}(B) = \frac{30}{216} = \frac{5}{36} \approx 0{,}139.\]
Ответ: а) \(\dfrac{19}{27} \approx 0{,}704\); б) \(\dfrac{5}{36} \approx 0{,}139\).
