Страница 81 номер 140, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Шахматного коня случайным образом поставили на доску. Найдите вероятность того, что он может за один ход перейти на поле: а) h1; б) a5; в) c4; г) d7; д) d5; е) g3.
Элементарное событие — поле, на которое попал конь; полей \(n = 8 \cdot 8 = 64\), и все они равновозможны. Ход коня обратим, поэтому событию «конь может за один ход перейти на названное поле» благоприятствуют ровно те поля, на которые конь ходит с самого названного поля.
а) С поля h1 конь может пойти только на f2 и g3: остальные ходы уводят за пределы доски. Значит, \(n(A) = 2\) и \[\mathrm{P}(A) = \frac{2}{64} = \frac{1}{32} \approx 0{,}031.\]
б) С поля a5 — на b7, c6, c4 и b3; ходы влево уводят за край доски. Значит, \(n(B) = 4\) и \[\mathrm{P}(B) = \frac{4}{64} = \frac{1}{16} \approx 0{,}063.\]
в) Поле c4 отстоит от каждого края не меньше чем на два поля, поэтому все восемь ходов ведут на доску: a3, a5, b6, d6, e5, e3, d2 и b2. Значит, \(n(C) = 8\) и \[\mathrm{P}(C) = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 0{,}125.\]
г) С поля d7 — на b8, b6, c5, e5, f6 и f8; два хода на две горизонтали вверх уводят за верхний край. Значит, \(n(D) = 6\) и \[\mathrm{P}(D) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32} \approx 0{,}094.\]
д) Поле d5, как и c4, отстоит от каждого края не меньше чем на два поля, поэтому конь ходит с него на все восемь полей: b6, c7, e7, f6, f4, e3, c3 и b4. Значит, \(n(E) = 8\) и \[\mathrm{P}(E) = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 0{,}125.\]
е) С поля g3 — на h5, h1, f5, f1, e4 и e2; два хода на две вертикали вправо уводят за правый край. Значит, \(n(F) = 6\) и \[\mathrm{P}(F) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32} \approx 0{,}094.\]
Ответ: а) \(\dfrac{1}{32} \approx 0{,}031\); б) \(\dfrac{1}{16} \approx 0{,}063\); в) \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\); г) \(\dfrac{3}{32} \approx 0{,}094\); д) \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\); е) \(\dfrac{3}{32} \approx 0{,}094\).
Шахматного коня случайным образом поставили на доску. Найдите вероятность того, что он может за один ход перейти на поле: а) h1; б) a5; в) c4; г) d7; д) d5; е) g3.
Поле шахматной доски называют буквой вертикали (от a до h) и номером горизонтали (от 1 до 8). Коня ставят на доску случайным образом, поэтому элементарное событие — поле, на которое он попал; всего таких полей \(n = 8 \cdot 8 = 64\), и все они равновозможны.
Конь ходит буквой «Г»: на два поля вдоль одной линии и на одно поле вдоль другой. Такой ход обратим: если с одного поля конь может пойти на другое, то тем же ходом он может вернуться обратно. Поэтому событию «конь может за один ход перейти на названное поле» благоприятствуют ровно те поля, на которые конь ходит с самого названного поля, — их и надо перечислить в каждом пункте.
а) С поля h1 конь может пойти только на f2 и g3: остальные ходы уводят за пределы доски. Значит, событию \(A\) «конь может за один ход перейти на поле h1» благоприятствуют \(n(A) = 2\) поля и \[\mathrm{P}(A) = \frac{2}{64} = \frac{1}{32} \approx 0{,}031.\]
б) С поля a5 конь может пойти на b7, c6, c4 и b3; ходы влево уводят за край доски. Событию \(B\) «конь может за один ход перейти на поле a5» благоприятствуют \(n(B) = 4\) поля, поэтому \[\mathrm{P}(B) = \frac{4}{64} = \frac{1}{16} \approx 0{,}063.\]
в) Поле c4 отстоит от каждого края доски не меньше чем на два поля, поэтому все восемь ходов коня с него ведут на доску: a3, a5, b6, d6, e5, e3, d2 и b2. Событию \(C\) «конь может за один ход перейти на поле c4» благоприятствуют \(n(C) = 8\) полей, поэтому \[\mathrm{P}(C) = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 0{,}125.\]
г) С поля d7 конь может пойти на b8, b6, c5, e5, f6 и f8; два хода на две горизонтали вверх невозможны — они уводят за верхний край доски. Событию \(D\) «конь может за один ход перейти на поле d7» благоприятствуют \(n(D) = 6\) полей, поэтому \[\mathrm{P}(D) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32} \approx 0{,}094.\]
д) Поле d5, как и c4, отстоит от каждого края не меньше чем на два поля, поэтому с него конь ходит на все восемь полей: b6, c7, e7, f6, f4, e3, c3 и b4. Событию \(E\) «конь может за один ход перейти на поле d5» благоприятствуют \(n(E) = 8\) полей, поэтому \[\mathrm{P}(E) = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 0{,}125.\]
е) С поля g3 конь может пойти на h5, h1, f5, f1, e4 и e2; два хода на две вертикали вправо невозможны — они уводят за правый край доски. Событию \(F\) «конь может за один ход перейти на поле g3» благоприятствуют \(n(F) = 6\) полей, поэтому \[\mathrm{P}(F) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32} \approx 0{,}094.\]
Ответ: а) \(\dfrac{1}{32} \approx 0{,}031\); б) \(\dfrac{1}{16} \approx 0{,}063\); в) \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\); г) \(\dfrac{3}{32} \approx 0{,}094\); д) \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\); е) \(\dfrac{3}{32} \approx 0{,}094\).
