Страница 81 номер 137, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

За круглым столом у каждого ровно два соседа, а тёзки — это двое с одним именем. Значит, Андрей сидит между тёзками, когда обоих его соседей зовут одинаково: либо оба соседа — Сергеи, либо оба — Матвеи.

Упростим опыт. Все места за круглым столом равноправны, поэтому можно считать, что Андрей уже занял какое-то место, а остальные четверо рассаживаются случайно по четырём оставшимся местам. Для интересующего нас события важно только то, кто оказался соседями Андрея, и порядок в паре соседей роли не играет: неважно, кто из двоих сел слева, а кто справа. Элементарное событие — пара соседей Андрея.

Каждый из четверых образует пару с каждым из трёх остальных, и каждая пара сосчитана при этом дважды, поэтому пар соседей \(n = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\): два Сергея; два Матвея; четыре пары «Сергей и Матвей» (каждый из двух Сергеев с каждым из двух Матвеев — \(2 \cdot 2 = 4\) пары). Проверка перечня: \(1 + 1 + 4 = 6\).

Все шесть пар равновозможны: каждой паре отвечает одно и то же число рассадок — двое соседей занимают два места рядом с Андреем в двух порядках, а оставшиеся двое садятся на два оставшихся места тоже в двух порядках, то есть на каждую пару приходится \(2 \cdot 2 = 4\) рассадки. Всего рассадок четверых по четырём местам \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\), и они делятся между шестью парами поровну: \(24 : 6 = 4\).

Событию \(A\) «Андрей сидит между тёзками» благоприятствуют две пары — два Сергея и два Матвея, поэтому \(n(A) = 2\) и \[\mathrm{P}(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333.\]

Ответ: \(\dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\).