Страница 78 номер 131, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Событию \(A\) благоприятствуют исходы \(a\) и \(d\), событию \(B\) — исходы \(c\) и \(d\), а сумма вероятностей всех четырёх элементарных событий равна 1: \[\mathrm{P}(a) + \mathrm{P}(d) = 0{,}5, \qquad \mathrm{P}(c) + \mathrm{P}(d) = 0{,}4, \qquad \mathrm{P}(a) + \mathrm{P}(b) + \mathrm{P}(c) + \mathrm{P}(d) = 1.\]
Обозначим \(\mathrm{P}(d) = t\). Тогда \(\mathrm{P}(a) = 0{,}5 - t\), \(\mathrm{P}(c) = 0{,}4 - t\) и \(\mathrm{P}(b) = 1 - (0{,}5 - t) - (0{,}4 - t) - t = 0{,}1 + t\).
Все четыре числа неотрицательны: \(t \geqslant 0\), \(0{,}5 - t \geqslant 0\), \(0{,}4 - t \geqslant 0\), то есть \(0 \leqslant t \leqslant 0{,}4\); при таком \(t\) число \(0{,}1 + t\) тоже неотрицательно, а все четыре числа не превосходят 1.
При \(t = 0{,}2\) получаем \(\mathrm{P}(a) = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(b) = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(c) = 0{,}2\), \(\mathrm{P}(d) = 0{,}2\).
Проверка: \(0{,}3 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}2 = 1\); \(\mathrm{P}(A) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5\); \(\mathrm{P}(B) = 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}4\).
Ответ: подходит любой набор \(\mathrm{P}(a) = 0{,}5 - t\), \(\mathrm{P}(b) = 0{,}1 + t\), \(\mathrm{P}(c) = 0{,}4 - t\), \(\mathrm{P}(d) = t\), где \(0 \leqslant t \leqslant 0{,}4\); например, \(\mathrm{P}(a) = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(b) = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(c) = 0{,}2\), \(\mathrm{P}(d) = 0{,}2\).
Вероятность события — сумма вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий. Событию \(A = \{a,\ d\}\) благоприятствуют исходы \(a\) и \(d\), событию \(B = \{c,\ d\}\) — исходы \(c\) и \(d\), поэтому \[\mathrm{P}(a) + \mathrm{P}(d) = 0{,}5, \qquad \mathrm{P}(c) + \mathrm{P}(d) = 0{,}4.\]
Кроме того, сумма вероятностей всех четырёх элементарных событий равна 1: \[\mathrm{P}(a) + \mathrm{P}(b) + \mathrm{P}(c) + \mathrm{P}(d) = 1.\]
Обозначим вероятность исхода \(d\) буквой \(t\), то есть \(\mathrm{P}(d) = t\). Из первых двух равенств \(\mathrm{P}(a) = 0{,}5 - t\) и \(\mathrm{P}(c) = 0{,}4 - t\), а из третьего \(\mathrm{P}(b) = 1 - (0{,}5 - t) - (0{,}4 - t) - t = 0{,}1 + t\).
Все четыре числа — вероятности элементарных событий, поэтому каждое из них лежит в отрезке \([0;\ 1]\). Неотрицательность даёт три условия: \(t \geqslant 0\), \(0{,}5 - t \geqslant 0\) и \(0{,}4 - t \geqslant 0\), то есть \(0 \leqslant t \leqslant 0{,}4\). При таком значении \(t\) число \(0{,}1 + t\) тоже неотрицательно, а все четыре числа не превосходят 1.
Значит, подходит любой набор вида \(\mathrm{P}(a) = 0{,}5 - t\), \(\mathrm{P}(b) = 0{,}1 + t\), \(\mathrm{P}(c) = 0{,}4 - t\), \(\mathrm{P}(d) = t\), где \(0 \leqslant t \leqslant 0{,}4\).
Пример такого набора даёт значение \(t = 0{,}2\): \(\mathrm{P}(a) = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(b) = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(c) = 0{,}2\), \(\mathrm{P}(d) = 0{,}2\).
Проверка: \(0{,}3 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}2 = 1\); \(\mathrm{P}(A) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5\); \(\mathrm{P}(B) = 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}4\).
Ответ: подходит любой набор \(\mathrm{P}(a) = 0{,}5 - t\), \(\mathrm{P}(b) = 0{,}1 + t\), \(\mathrm{P}(c) = 0{,}4 - t\), \(\mathrm{P}(d) = t\), где \(0 \leqslant t \leqslant 0{,}4\); например, \(\mathrm{P}(a) = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(b) = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(c) = 0{,}2\), \(\mathrm{P}(d) = 0{,}2\).
