Страница 66 номер 109, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Существует ли полный граф, в котором: а) 66 рёбер; б) 90 рёбер?
Число рёбер полного графа \(K_n\) равно \(C_n^2 = \dfrac{n(n - 1)}{2}\).
а) Из равенства \(\dfrac{n(n - 1)}{2} = 66\) получаем \(n(n - 1) = 132\), а \(132 = 12 \cdot 11\), поэтому подходит \(n = 12\).
б) Из равенства \(\dfrac{n(n - 1)}{2} = 90\) получаем \(n(n - 1) = 180\). Произведение \(n(n - 1)\) растёт вместе с \(n\), а \(13 \cdot 12 = 156\) и \(14 \cdot 13 = 182\), поэтому при \(n \leqslant 13\) оно меньше 180, при \(n \geqslant 14\) — больше 180, и натурального \(n\) с \(n(n - 1) = 180\) нет.
Ответ: а) да, такой полный граф существует — это \(K_{12}\); б) нет, полного графа с 90 рёбрами не существует.
Существует ли полный граф, в котором: а) 66 рёбер; б) 90 рёбер?
Число рёбер полного графа \(K_n\) равно числу пар его вершин, то есть \(C_n^2 = \dfrac{n(n - 1)}{2}\).
а) Из равенства \(\dfrac{n(n - 1)}{2} = 66\) получаем \(n(n - 1) = 132\). Так как \(132 = 12 \cdot 11\), подходит \(n = 12\). Значит, полный граф с 66 рёбрами существует — это \(K_{12}\).
б) Из равенства \(\dfrac{n(n - 1)}{2} = 90\) получаем \(n(n - 1) = 180\). Произведение \(n(n - 1)\) растёт вместе с \(n\), а \(13 \cdot 12 = 156\) и \(14 \cdot 13 = 182\). Значит, при \(n \leqslant 13\) произведение меньше 180, а при \(n \geqslant 14\) — больше 180, и натурального \(n\), при котором \(n(n - 1) = 180\), нет. Полного графа с 90 рёбрами не существует.
Ответ: а) да, такой полный граф существует — это \(K_{12}\); б) нет, полного графа с 90 рёбрами не существует.
