Страница 65 номер 107, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Вместо многогранника рассмотрим его граф на сфере: грани изображаются областями, степень области равна числу сторон грани, поэтому сумма степеней всех областей равна удвоенному числу рёбер.
а) Сумма степеней областей равна \[2 \cdot 4 + 8 \cdot 3 = 8 + 24 = 32,\] значит рёбер \(32 : 2 = 16\).
Такой многогранник существует — четырёхугольная антипризма: два квадрата, лежащие в параллельных плоскостях и повёрнутые один относительно другого, соединённые поясом из восьми треугольников. У неё 8 вершин, 16 рёбер и 10 граней, а \(\chi = 8 - 16 + 10 = 2\).
б) Сумма степеней областей была бы равна \[3 \cdot 4 + 7 \cdot 3 = 12 + 21 = 33.\] Число 33 нечётно, а сумма степеней областей чётна, значит, такого многогранника нет.
Ответ: а) да, такой многогранник существует (например, четырёхугольная антипризма), в нём 16 рёбер; б) нет, такого многогранника не существует, так как сумма чисел сторон всех его граней оказалась бы нечётной.
Вместо многогранника будем рассматривать его граф на сфере: вершины и рёбра многогранника — это вершины и рёбра графа, а грани изображаются областями. Степень области равна числу сторон соответствующей грани, поэтому сумма степеней всех областей равна удвоенному числу рёбер.
а) Сумма степеней областей равна \[2 \cdot 4 + 8 \cdot 3 = 8 + 24 = 32.\]
Это удвоенное число рёбер, поэтому рёбер \(32 : 2 = 16\).
Такой многогранник существует — четырёхугольная антипризма: два квадрата, лежащие в параллельных плоскостях и повёрнутые один относительно другого, соединённые поясом из восьми треугольников. У неё 8 вершин, 16 рёбер и 10 граней — 2 квадратные и 8 треугольных, — и эйлерова характеристика равна \(\chi = 8 - 16 + 10 = 2\).
б) Сумма степеней областей была бы равна \[3 \cdot 4 + 7 \cdot 3 = 12 + 21 = 33.\]
Число 33 нечётно, а сумма степеней областей чётна, потому что равна удвоенному числу рёбер. Значит, многогранника с тремя четырёхугольными и семью треугольными гранями не существует.
Ответ: а) да, такой многогранник существует (например, четырёхугольная антипризма), в нём 16 рёбер; б) нет, такого многогранника не существует, так как сумма чисел сторон всех его граней оказалась бы нечётной.
