Страница 65 номер 105, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Нарисуйте какой-нибудь плоский граф, который делит плоскость на 5 областей со степенями 3, 3, 3, 3, 6.
Областей 5, поэтому по формуле Эйлера \(v - e + f = 2\) числа вершин и рёбер связаны равенством \(v = e - 3\). Сумма степеней областей равна удвоенному числу рёбер, а она равна \(3 + 3 + 3 + 3 + 6 = 18\), откуда \(e = 9\) и \(v = 6\).
Подходит правильный шестиугольник \(ABCDEF\), в котором проведены три диагонали, соединяющие вершины через одну.
В графе 6 вершин и 9 рёбер: стороны \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EF\), \(FA\) и диагонали \(AC\), \(CE\), \(EA\). Диагонали друг друга не пересекают, поэтому граф плоский.
Областей пять: три «угловые» треугольные, каждая из которых ограничена двумя сторонами и диагональю (\(ABC\), \(CDE\), \(EFA\)), внутренний треугольник на диагоналях \(AC\), \(CE\), \(EA\) и внешняя область, граница которой — все шесть сторон. Степени этих областей равны 3, 3, 3, 3 и 6.
Проверка: \(3 + 3 + 3 + 3 + 6 = 18 = 2 \cdot 9\), а эйлерова характеристика равна \(\chi = 6 - 9 + 5 = 2\).
Ответ: годится шестиугольник \(ABCDEF\) со всеми шестью сторонами и тремя диагоналями \(AC\), \(CE\), \(EA\): он делит плоскость на четыре треугольные области степени 3 и внешнюю область степени 6.
Нарисуйте какой-нибудь плоский граф, который делит плоскость на 5 областей со степенями 3, 3, 3, 3, 6.
Всего областей должно быть 5, поэтому по формуле Эйлера \(v - e + f = 2\) число вершин и число рёбер связаны равенством \(v = e - 3\). Кроме того, сумма степеней областей равна удвоенному числу рёбер, а она равна \(3 + 3 + 3 + 3 + 6 = 18\), откуда \(e = 9\) и \(v = 6\).
Подходит правильный шестиугольник \(ABCDEF\), в котором проведены три диагонали, соединяющие вершины через одну. Нарисуем его.
В этом графе 6 вершин и 9 рёбер: стороны \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EF\), \(FA\) и диагонали \(AC\), \(CE\), \(EA\). Эти диагонали друг друга не пересекают, поэтому граф плоский.
Он делит плоскость на пять областей: три «угловые» треугольные области, каждая из которых ограничена двумя сторонами и диагональю (\(ABC\), \(CDE\), \(EFA\)), внутренний треугольник, ограниченный тремя диагоналями \(AC\), \(CE\), \(EA\), и внешнюю область, граница которой — все шесть сторон шестиугольника. Степени этих областей равны 3, 3, 3, 3 и 6.
Проверка: \(3 + 3 + 3 + 3 + 6 = 18 = 2 \cdot 9\), а эйлерова характеристика равна \(\chi = 6 - 9 + 5 = 2\).
Ответ: годится шестиугольник \(ABCDEF\) со всеми шестью сторонами и тремя диагоналями \(AC\), \(CE\), \(EA\): он делит плоскость на четыре треугольные области степени 3 и внешнюю область степени 6.
